Rezolvare BAC 2024 Matematică M1 mate-info, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din simularea 2024 (Simularea națională a clasei a XII-a — 05.03.2024): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (3 + lg(110))·lg√10 = 1.

lg(110) = −1, deci 3 + lg(110) = 2.
lg√10 = 12, deci produsul este 2·(12) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + ax − 1, unde a este număr real. Determinați numerele reale a pentru care (f∘f)(1) = 1.

f(1) = 1 + a − 1 = a, deci (f∘f)(1) = f(a) = a² + a² − 1 = 2a² − 1.
2a² − 1 = 1 ⇔ a² = 1, deci a = −1 sau a = 1.
Răspuns
a = −1 sau a = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2ˣ⁺¹·8ˣ = 32.

8ˣ = 2³ˣ, deci 2ˣ⁺¹·2³ˣ = 2⁴ˣ⁺¹ = 2⁵.
4x + 1 = 5, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul √n + 100 să fie natural.

Numerele naturale de două cifre sunt 90: 90 de cazuri posibile.
110 ≤ n + 100 ≤ 199, iar pătratele perfecte din acest interval sunt 121, 144, 169, 196: n∈{21, 44, 69, 96}, adică 4 cazuri favorabile.
p = 490 = 245.
Răspuns
p = 245
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 4), B(4, 6) și C(4, 2). Determinați coordonatele punctului D, știind că OD = (12)(AB + AC) (vectori).

AB are coordonatele (3, 2), iar AC are (3, −2), deci AB + AC are (6, 0).
OD = (12)(6, 0) = (3, 0), deci D(3, 0).
Răspuns
D(3, 0)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră expresia E(x) = tg x − 4cos(x2)·cos x, unde x∈(0, π2). Arătați că E(π3) = 0.

tg(π3) = √3, cos(π6) = √32 și cos(π3) = 12.
E(π3) = √3 − 4·(√32)·(12) = √3 − √3 = 0.
Răspuns
E(π3) = 0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = 1−1x−100x0−1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 1.

A(0) = 1−10−10000−1.
det(A(0)) = 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − (−1) = 1.
Răspuns
det(A(0)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că det(A(x)·A(x) − I₃) ≤ 0, pentru orice număr real x.

A(x)·A(x) = 2+x²−10−11−x0−xx²+1, deci A(x)·A(x) − I₃ = 1+x²−10−10−x0−xx².
Determinantul: (1 + x²)(0 − x²) − (−1)(−x² − 0) = −x²(1 + x²) − x² = −x²(2 + x²).
−x²(2 + x²) ≤ 0, pentru orice x real.
Răspuns
det = −x²(2 + x²) ≤ 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Se consideră matricea B∈M₂,₃(R), B = 101010. Determinați matricea X∈M₂,₃(R) pentru care X·(A(0))⁻¹ = B·A(0), unde (A(0))⁻¹ este inversa matricei A(0).

Înmulțind la dreapta cu A(0): X = B·A(0)·A(0).
A(0)·A(0) = 2−10−110001, ca la b) cu x = 0.
X = 101010·2−10−110001 = 2−11−110.
Răspuns
X = 2−11−110
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = [0, +∞) se definește legea de compoziție x ∗ y = x² + y² + x + yx + y + 1.

a) (5p) Arătați că 1 ∗ 2 = 2.

1 ∗ 2 = 1 + 4 + 1 + 21 + 2 + 1 = 84 = 2.
Răspuns
1 ∗ 2 = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x ∗ 0 = x² + xx + 1 = x(x + 1)x + 1 = x, pentru orice x∈M.
0 ∗ x = x² + xx + 1 = x, pentru orice x∈M, deci e = 0 e elementul neutru.
Răspuns
e = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale pentru care m ∗ n = 5.

m ∗ n = 5 ⇔ m² + n² + m + n = 5m + 5n + 5 ⇔ m² − 4m + n² − 4n = 5 ⇔ (m − 2)² + (n − 2)² = 13.
13 = 4 + 9, deci {|m − 2|, |n − 2|} = {2, 3}.
Cu m, n naturale: m − 2 ∈ {−2, 2} și n − 2 = 3, sau m − 2 = 3 și n − 2 ∈ {−2, 2}.
Perechile: (0, 5), (4, 5), (5, 0) și (5, 4).
Răspuns
(0, 5), (4, 5), (5, 0), (5, 4)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x + 6)√x² + 4.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2(x² + 3x + 2)√(x² + 4), x∈R.

f'(x) = √x² + 4 + (x + 6)·x/√x² + 4.
Aducând la același numitor: x² + 4 + x² + 6x√(x² + 4) = 2x² + 6x + 4√(x² + 4) = 2(x² + 3x + 2)√(x² + 4).
Răspuns
f'(x) = 2(x² + 3x + 2)√(x² + 4)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

x² + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1), deci f'(x) = 0 ⇔ x = −2 sau x = −1.
f e crescătoare pe (−∞, −2], descrescătoare pe [−2, −1] și crescătoare pe [−1, +∞).
Răspuns
crescătoare pe (−∞, −2] și [−1, +∞), descrescătoare pe [−2, −1]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ecuația f(x) = m are soluție unică, pentru orice număr întreg m.

limx→−∞ f(x) = −∞, f(−2) = 4√8 = √128, f(−1) = 5√5 = √125, limx→+∞ f(x) = +∞, iar 11 < √125 < √128 < 12.
Pe (−∞, −2), f ia (strict crescător) toate valorile din (−∞, √128); pe (−2, −1), valorile din (√125, √128), unde nu e niciun întreg; pe (−1, +∞), toate valorile din (√125, +∞).
Un întreg m ≤ 11 e atins doar pe (−∞, −2); un întreg m ≥ 12 doar pe (−1, +∞). În ambele cazuri, o singură dată.
Deci ecuația f(x) = m are soluție unică, pentru orice întreg m.
Răspuns
Soluție unică pentru orice m întreg
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 1eˣ.