Rezolvare BAC 2019 Matematică M1 mate-info, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din modelul 2019 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați elementele mulțimii M = {x ∈ Z | 3x + 1 ∈ N}.

3x + 1 este număr natural doar dacă x + 1 este un divizor pozitiv al lui 3, adică x + 1 = 1 sau x + 1 = 3.
Obținem x = 0 sau x = 2, ambele numere întregi.
Răspuns
M = {0, 2}
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră x₁ și x₂ soluțiile ecuației x² − mx − 1 = 0, unde m este număr real. Determinați numărul real m, știind că x₁² − 1x₁ + x₂² − 1x₂ = 2.

Produsul soluțiilor este x₁x₂ = −1, deci x₁ ≠ 0 și x₂ ≠ 0.
Din ecuație: x₁² − 1 = mx₁ și x₂² − 1 = mx₂.
Suma devine mx₁x₁ + mx₂x₂ = m + m = 2m = 2, deci m = 1.
Răspuns
m = 1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √2 − x − x = 0.

√2 − x = x, deci trebuie x ≥ 0; ridicând la pătrat: 2 − x = x², adică x² + x − 2 = 0.
Soluțiile sunt x = −2 (nu convine, fiindcă x ≥ 0) și x = 1 (convine: √1 − 1 = 0).
Răspuns
x = 1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {log₂n | n ∈ N*, n ≤ 20}, acesta să fie număr natural.

Mulțimea A are 20 de elemente (câte unul pentru fiecare n de la 1 la 20), deci 20 de cazuri posibile.
log₂n este număr natural ⇔ n este o putere a lui 2: n ∈ {1, 2, 4, 8, 16}, deci 5 cazuri favorabile.
p = 520 = 14.
Răspuns
p = 14
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(0,2) și P(1,1). Determinați ecuația mediatoarei segmentului MP.

Panta dreptei MP este 1 − 21 − 0 = −1, deci mediatoarea (perpendiculară pe MP) are panta 1.
Mijlocul segmentului MP este Q(12, 32).
Ecuația mediatoarei: y − 32 = x − 12, adică y = x + 1.
Răspuns
y = x + 1
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC cu AB = 5√2, m(∢A) = 45° și m(∢C) = 30°. Determinați lungimea laturii BC.

Teorema sinusurilor: ABsin(C) = BCsin(A).
5√21/2 = BC√2/2, adică 10√2 = 2BC√2.
BC = 10√2·√22 = 10.
Răspuns
BC = 10
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea M(m) = 124−1m−1m13 și sistemul de ecuații x + 2y + 4z = 5−x + my − z = −2mx + y + 3z = 4, unde m este număr real.

a) (5p) Arătați că det(M(0)) = 3.

M(0) = 124−10−1013.
Dezvoltând după prima linie: det(M(0)) = 1·0−113 − 2·−1−103 + 4·−1001 = 1·1 − 2·(−3) + 4·(−1) = 1 + 6 − 4 = 3.
Răspuns
det(M(0)) = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați valorile reale ale lui m pentru care sistemul are soluție unică.

M(m) este matricea sistemului; dezvoltând după prima linie: det(M(m)) = 1·(3m + 1) − 2·(−3 + m) + 4·(−1 − m²) = −4m² + m + 3.
Sistemul are soluție unică ⇔ det(M(m)) ≠ 0.
−4m² + m + 3 = 0 ⇔ 4m² − m − 3 = 0 ⇔ m = 1 sau m = −34.
Răspuns
m ∈ R \ {−34, 1}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru m = 1, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului pentru care 4y₀² = (x₀ + z₀)².

Pentru m = 1, sistemul este x + 2y + 4z = 5−x + y − z = −2x + y + 3z = 4 și det(M(1)) = 0.
Notăm z = α. Adunând ecuațiile a doua și a treia: 2y + 2z = 2, deci y = 1 − α; din a doua: x = y − z + 2 = 3 − 2α. Prima ecuație e verificată: 3 − 2α + 2 − 2α + 4α = 5, deci soluțiile sunt (3 − 2α, 1 − α, α), α ∈ R.
Condiția: 4(1 − α)² = (3 − α)², adică 2(1 − α) = 3 − α sau 2(1 − α) = −(3 − α), deci α = −1 sau α = 53.
Pentru α = −1: (5, 2, −1); pentru α = 53: (−13, −23, 53).
Răspuns
(5, 2, −1) și (−13, −23, 53)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă, cu element neutru, x ∗ y = (13)xy − (12)(x + y) + 94.

a) (5p) Demonstrați că x ∗ y = (13)(x − 32)(y − 32) + 32, pentru orice numere reale x și y.

Desfacem: (13)(x − 32)(y − 32) = (13)(xy − (32)x − (32)y + 94) = (13)xy − (12)x − (12)y + 34.
Adăugând 32: (13)xy − (12)(x + y) + 34 + 32 = (13)xy − (12)(x + y) + 94 = x ∗ y.
Răspuns
x ∗ y = (13)(x − 32)(y − 32) + 32
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x ∗ x = x.

x ∗ x = (13)(x − 32)² + 32, iar x ∗ x ∗ x = (13)·(13)(x − 32)²·(x − 32) + 32 = (19)(x − 32)³ + 32.
Ecuația devine (19)(x − 32)³ = x − 32. Notăm t = x − 32: t³ = 9t ⇔ t(t² − 9) = 0, deci t ∈ {−3, 0, 3}.
x = t + 32, deci x = −32, x = 32 sau x = 92.
Răspuns
x ∈ {−32, 32, 92}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că nu există niciun număr natural n al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „∗” să fie număr natural.

Elementul neutru: x ∗ e = x pentru orice x ⇔ (13)(x − 32)(e − 32) = x − 32 pentru orice x ⇔ e − 32 = 3, deci e = 92.
Dacă n' este simetricul lui n: n ∗ n' = 92 ⇔ (13)(n − 32)(n' − 32) = 3 ⇔ (n − 32)(n' − 32) = 9 ⇔ (2n − 3)(2n' − 3) = 36.
Dacă n și n' ar fi ambele naturale, 2n − 3 și 2n' − 3 ar fi numere impare, iar produsul lor ar fi impar — dar 36 este par. Contradicție, deci nu există un astfel de n.
Răspuns
Nu există (produsul a două numere impare nu poate fi 36)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − ln(x² + x + 1).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x(x − 1)x² + x + 1, x ∈ R.

f'(x) = 1 − 2x + 1x² + x + 1.
Aducem la același numitor: x² + x + 1 − 2x − 1x² + x + 1 = x² − xx² + x + 1 = x(x − 1)x² + x + 1.
Răspuns
f'(x) = x(x − 1)x² + x + 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcției f este paralelă cu dreapta de ecuație y = −(17)x + 2.

Tangenta în punctul (a, f(a)) e paralelă cu dreapta dată ⇔ au aceeași pantă: f'(a) = −17.
a(a − 1)a² + a + 1 = −17 ⇔ 7a² − 7a = −a² − a − 1 ⇔ 8a² − 6a + 1 = 0.
Δ = 36 − 32 = 4, deci a = 6 − 216 = 14 sau a = 6 + 216 = 12.
Răspuns
a = 14 sau a = 12
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că pentru fiecare număr natural nenul n, ecuația f(x) + n = 0 are soluție unică.

x² + x + 1 > 0, deci semnul lui f' e semnul lui x(x − 1): f e strict crescătoare pe (−∞, 0], strict descrescătoare pe [0, 1] și strict crescătoare pe [1, +∞).
f(0) = 0 și f(1) = 1 − ln3 ∈ (−1, 0). Pe [0, +∞), valoarea minimă a lui f este f(1) > −1 ≥ −n, deci f(x) + n > 0: nicio soluție în [0, +∞).
limx→−∞ f(x) = limx→−∞ x(1 − ln(x² + x + 1)x) = −∞, deoarece ln(x² + x + 1)x → 0.
Pe (−∞, 0), f e continuă și strict crescătoare, cu valori în (−∞, 0); cum −n ∈ (−∞, 0), ecuația f(x) = −n are exact o soluție în (−∞, 0). Deci ecuația f(x) + n = 0 are soluție unică.
Răspuns
soluție unică, situată în (−∞, 0)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xeˣ.