Rezolvare BAC 2023 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea specială 2023 (Proba E.c) — 16.05.2023): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (2 − i)² + i(4 + i) = 2, unde i² = −1.

(2 − i)² = 4 − 4i + i² și i(4 + i) = 4i + i².
Suma: 4 + 2i² = 4 − 2 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 3. Determinați numărul real m pentru care (f∘f)(m) = 2m.

(f∘f)(m) = f(m + 3) = m + 6.
m + 6 = 2m, deci m = 6.
Răspuns
m = 6
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5ˣ⁺¹ − 3·5ˣ = 10.

5ˣ⁺¹ = 5·5ˣ, deci 5·5ˣ − 3·5ˣ = 2·5ˣ = 10.
5ˣ = 5, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele mai mari sau egale cu 7.

Numerele naturale de două cifre sunt 90: 90 de cazuri posibile.
Fiecare cifră poate fi 7, 8 sau 9: 3·3 = 9 cazuri favorabile.
p = 990 = 110.
Răspuns
p = 110
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 4), B(3, −2) și C(2a, a), unde a este număr real nenul. Arătați că dreptele AB și OC sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul a.

Panta lui AB: −2 − 43 = −2; panta lui OC: a2a = 12.
Produsul pantelor e −1, deci AB ⊥ OC, pentru orice a nenul.
Răspuns
AB ⊥ OC
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră expresia E(x) = sin x + 4cos(x3)·sin(2x3), unde x este număr real. Arătați că E(π2) = 4.

sin(π2) = 1, cos(π6) = √32 și sin(π3) = √32.
E(π2) = 1 + 4·(√32)·(√32) = 1 + 3 = 4.
Răspuns
E(π2) = 4
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a−12a1−2a111−a și sistemul de ecuații ax − y + 2az = 0x − 2y + az = 0x + y + (1 − a)z = 0, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 1.

A(0) = 0−101−20111.
Dezvoltând după ultima coloană: det(A(0)) = 1·(0·(−2) − (−1)·1) = 1.
Răspuns
det(A(0)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

det(A(a)) = a(a − 2) + (1 − 2a) + 6a = a² + 2a + 1 = (a + 1)².
Soluție unică ⇔ det(A(a)) ≠ 0 ⇔ a ≠ −1, deci a∈R∖{−1}.
Răspuns
a∈R∖{−1}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru a = −1, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului pentru care x₀² + y₀² + z₀² = 3.

Pentru a = −1 sistemul e compatibil nedeterminat, cu soluțiile (−α, −α, α), α∈R (se verifică în toate trei ecuațiile).
x₀² + y₀² + z₀² = 3α² = 3, deci α = −1 sau α = 1.
Soluțiile: (1, 1, −1) și (−1, −1, 1).
Răspuns
(1, 1, −1) și (−1, −1, 1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = x²y² − 4(x + y)² + 1.

a) (5p) Arătați că 0 ∗ 1 = −3.

0 ∗ 1 = 0 − 4·1 + 1 = −3.
Răspuns
0 ∗ 1 = −3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că x ∗ (−1) ≤ 2x, pentru orice număr real x.

x ∗ (−1) = x² − 4(x − 1)² + 1 = −3x² + 8x − 3.
−3x² + 8x − 3 = −3(x − 1)² + 2x ≤ 2x, pentru orice x real.
Răspuns
x ∗ (−1) = 2x − 3(x − 1)² ≤ 2x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale nenule, cu m ≤ n, pentru care m ∗ n = 1.

m ∗ n = 1 ⇔ m²n² = 4(m + n)² ⇔ mn = 2(m + n) (ambele sunt pozitive).
mn − 2m − 2n = 0 ⇔ (m − 2)(n − 2) = 4.
Cu m ≤ n naturale nenule: m − 2 = 1, n − 2 = 4 sau m − 2 = n − 2 = 2, deci (3, 6) și (4, 4).
Răspuns
(3, 6) și (4, 4)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x5 − ln(x² + x + 5).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x² − 9x5(x² + x + 5), x∈R.

f'(x) = 15 − 2x + 1x² + x + 5 = x² + x + 5 − 10x − 55(x² + x + 5).
f'(x) = x² − 9x5(x² + x + 5).
Răspuns
f'(x) = x² − 9x5(x² + x + 5)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcției f este paralelă cu axa Ox.

Tangenta e paralelă cu Ox ⇔ f'(a) = 0 ⇔ a² − 9a = 0.
a = 0 sau a = 9.
Răspuns
a = 0 sau a = 9
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ecuația f(x) = 0 are soluție unică.

f e crescătoare pe (−∞, 0], descrescătoare pe [0, 9] și strict crescătoare pe [9, +∞).
Pe (−∞, 9], f(x) ≤ f(0) = −ln5 < 0, deci acolo ecuația nu are soluții.
Pe (9, +∞), f e continuă și strict crescătoare, cu f(9) < 0 și limx→+∞ f(x) = +∞, deci ecuația are exact o soluție.
Așadar ecuația f(x) = 0 are soluție unică.
Răspuns
Soluție unică, în (9, +∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−2, +∞)→R, f(x) = 4xx³ + 8.