Rezolvare BAC 2017 Matematică M1 mate-info, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din modelul 2017 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe z₁ = 2 + 3i și z₂ = 4 − 6i. Arătați că numărul z₁z₂ + 2z₁ + z₂ este real.

z₁z₂ = (2 + 3i)(4 − 6i) = 8 − 12i + 12i − 18i² = 8 + 18 = 26.
2z₁ + z₂ = 4 + 6i + 4 − 6i = 8.
z₁z₂ + 2z₁ + z₂ = 26 + 8 = 34, care este număr real.
Răspuns
34, număr real
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Calculați (f∘g)(0), unde f:R→R, f(x) = 2x − 1 și g:R→R, g(x) = x² + x + 1.

g(0) = 0 + 0 + 1 = 1.
(f∘g)(0) = f(g(0)) = f(1) = 2 − 1 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₅(x² − 4) = log₅(5x − 8).

Logaritmul e injectiv: x² − 4 = 5x − 8, adică x² − 5x + 4 = 0, cu soluțiile x = 1 și x = 4.
Pentru x = 1: x² − 4 = −3 < 0, deci x = 1 nu verifică ecuația.
Pentru x = 4: x² − 4 = 12 și 5x − 8 = 12, ambele pozitive, deci x = 4 convine.
Răspuns
x = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 7.

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Multiplii de 7 de două cifre sunt 14, 21, …, 98, adică 7·2, …, 7·14: 13 cazuri favorabile.
p = 1390.
Răspuns
p = 1390
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație y = 3x − 2017 și punctul A(1,0). Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d.

Dreapta d are panta 3, deci orice paralelă la d are tot panta 3.
Prin A(1,0): y − 0 = 3(x − 1), adică y = 3x − 3.
Răspuns
y = 3x − 3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin(π2 + x)·sin x + cos(π2 + x)·cos x = 0, pentru orice număr real x.

Formulele de reducere: sin(π2 + x) = cos x și cos(π2 + x) = −sin x.
Expresia devine cos x·sin x − sin x·cos x = 0, pentru orice număr real x.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A(x) = x000x0001 și B(x) = 00x0x0200, unde x este număr real.

a) (5p) Calculați det(A(2)).

A(2) = 200020001, matrice diagonală.
Determinantul unei matrice diagonale e produsul elementelor de pe diagonală: det(A(2)) = 2·2·1 = 4.
Răspuns
det(A(2)) = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că det(A(x) + B(x)) = det(B(x)), pentru orice număr real x.

A(x) + B(x) = x0x02x0201.
Dezvoltând după linia a doua: det(A(x) + B(x)) = 2x·xx21 = 2x(x − 2x) = −2x².
Dezvoltând după linia a doua: det(B(x)) = x·0x20 = x(0 − 2x) = −2x², deci cei doi determinanți sunt egali.
Răspuns
ambii determinanți sunt −2x²
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele naturale n și p, știind că A(n)B(p) = B(3).

A(n)B(p) = n000n0001·00p0p0200 = 00np0np0200.
B(3) = 003030200, deci egalitatea revine la np = 3.
Cu n și p numere naturale: n = 1, p = 3 sau n = 3, p = 1.
Răspuns
n = 1, p = 3 sau n = 3, p = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ + aX² + 8X + 3, unde a este număr real.

a) (5p) Determinați numărul real a, știind că f(1) = 0.

f(1) = 1 + a + 8 + 3 = a + 12.
a + 12 = 0, deci a = −12.
Răspuns
a = −12
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Pentru a = 6, determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X² + 5X + 3.

Pentru a = 6: f = X³ + 6X² + 8X + 3.
Primul termen al câtului: X³ : X² = X; f − X(X² + 5X + 3) = X² + 5X + 3.
Următorul termen: 1; X² + 5X + 3 − 1·(X² + 5X + 3) = 0. Deci f = (X + 1)(X² + 5X + 3).
Răspuns
câtul X + 1, restul 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, dacă a ∈ (−4, 4), atunci polinomul f nu are toate rădăcinile reale.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = −a și x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 8.
x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² − 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = a² − 16.
Pentru a ∈ (−4, 4), a² − 16 < 0, deci x₁² + x₂² + x₃² < 0.
Dacă toate rădăcinile ar fi reale, suma pătratelor lor ar fi ≥ 0 — contradicție. Deci f nu are toate rădăcinile reale.
Răspuns
x₁² + x₂² + x₃² = a² − 16 < 0, deci nu toate rădăcinile sunt reale
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²⁰¹⁸ + 2018x + 2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2018(x²⁰¹⁷ + 1), x∈R.

f'(x) = (x²⁰¹⁸)' + (2018x)' + 2' = 2018x²⁰¹⁷ + 2018.
Scoatem factor comun 2018: f'(x) = 2018(x²⁰¹⁷ + 1).
Răspuns
f'(x) = 2018(x²⁰¹⁷ + 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real a, știind că punctul A(a, 2020) aparține tangentei la graficul funcției f care trece prin punctul de abscisă x = 0 situat pe graficul funcției f.

f(0) = 2 și f'(0) = 2018.
Tangenta: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y = 2018x + 2.
A(a, 2020) e pe tangentă: 2020 = 2018a + 2, deci a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ecuația f(x) = 0 are exact două soluții reale distincte.

f'(x) = 0 ⇔ x²⁰¹⁷ = −1 ⇔ x = −1. Pentru x < −1, x²⁰¹⁷ < −1, deci f'(x) < 0; pentru x > −1, f'(x) > 0.
f e strict descrescătoare pe (−∞, −1] și strict crescătoare pe [−1, +∞).
limx→−∞ f(x) = +∞ (termenul x²⁰¹⁸ domină), f(−1) = 1 − 2018 + 2 = −2015 < 0 și limx→+∞ f(x) = +∞.
f e continuă și strict monotonă pe fiecare interval și își schimbă semnul pe fiecare, deci are exact o soluție în (−∞, −1) și exact una în (−1, +∞): în total exact două soluții reale distincte.
Răspuns
exact două soluții reale distincte
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pentru fiecare număr natural nenul n, se consideră numărul Iₙ = ∫[0,1] xⁿx² + 2x + 2 dx.

a) (5p) Calculați ∫[0,1] (x² + 2x + 2) dx.

O primitivă este x³3 + x² + 2x.
[x³3 + x² + 2x] de la 0 la 1 = 13 + 1 + 2 = 103.
Răspuns
103
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că Iₙ₊₁ + 2Iₙ + 2Iₙ₋₁ = 1n, pentru orice număr natural n, n ≥ 2.

Iₙ₊₁ + 2Iₙ + 2Iₙ₋₁ = ∫[0,1] xⁿ⁺¹ + 2xⁿ + 2xⁿ⁻¹x² + 2x + 2 dx.
Numărătorul este xⁿ⁻¹(x² + 2x + 2), deci fracția se simplifică la xⁿ⁻¹.
∫[0,1] xⁿ⁻¹ dx = [xⁿn] de la 0 la 1 = 1n.
Răspuns
Iₙ₊₁ + 2Iₙ + 2Iₙ₋₁ = 1n
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că limn→+∞ n·Iₙ = 15.

Iₙ₊₁ − Iₙ = ∫[0,1] xⁿ(x − 1)x² + 2x + 2 dx ≤ 0, fiindcă x − 1 ≤ 0 pe [0, 1]; deci șirul e descrescător: Iₙ₊₁ ≤ Iₙ ≤ Iₙ₋₁.
Atunci 5Iₙ₊₁ ≤ Iₙ₊₁ + 2Iₙ + 2Iₙ₋₁ ≤ 5Iₙ₋₁, adică 5Iₙ₊₁ ≤ 1n ≤ 5Iₙ₋₁, pentru n ≥ 2.
Din 1n + 1 ≤ 5Iₙ (inegalitatea din dreapta scrisă pentru n + 1) și 5Iₙ ≤ 1n − 1 (cea din stânga scrisă pentru n − 1, n ≥ 3) obținem n5(n + 1) ≤ n·Iₙ ≤ n5(n − 1).
Ambele margini tind la 15, deci, din criteriul cleștelui, limn→+∞ n·Iₙ = 15.
Răspuns
15
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri