Rezolvare BAC 2021 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea a II-a (toamnă) 2021 (Proba E.c) — august 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați media aritmetică a numerelor reale a = 2021 − √2 și b = 2021 + √2.

Media aritmetică este a + b2 = 2021 − √2 + 2021 + √22.
Radicalii se reduc: 2·20212 = 2021.
Răspuns
2021
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 3x + 1. Determinați numărul real m, știind că punctul A(1,m) aparține graficului funcției f.

A(1,m) aparține graficului ⇔ f(1) = m.
f(1) = 1 − 3 + 1 = −1, deci m = −1.
Răspuns
m = −1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(√x + 3) + log₃(√x − 3) = 2.

Condiții: x ≥ 0 și √x − 3 > 0, adică x > 9.
log₃((√x + 3)(√x − 3)) = 2, deci x − 9 = 3² = 9.
x = 18, care verifică x > 9.
Răspuns
x = 18
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 16 submulțimi.

O mulțime cu n elemente are 2ⁿ submulțimi.
2ⁿ = 16 = 2⁴, deci n = 4.
Răspuns
4 elemente
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(3,0), N(8,3) și P(6,3). Determinați coordonatele punctului Q, știind că MN + MP = MQ (vectori).

Vectorii au coordonatele MN = (5, 3) și MP = (3, 3), deci MN + MP = (8, 6).
MQ = (x_Q − 3, y_Q − 0) = (8, 6), deci x_Q = 11 și y_Q = 6.
(Echivalent: MNQP este paralelogram, deci MQ și PN au același mijloc.)
Răspuns
Q(11,6)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC în care sin2A·cos A = sin A. Arătați că A = π4.

sin2A = 2sin A·cos A, deci ecuația devine 2sin A·cos²A = sin A.
În triunghi sin A ≠ 0, deci cos²A = 12.
A e ascuțit, deci cos A > 0: cos A = √22, de unde A = π4.
Răspuns
A = π4
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 1000a01+log₂a01, unde a ∈ (0, +∞).

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 1.

log₂1 = 0, deci A(1) = 100010101.
det(A(1)) = 100010101 = 1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1.
Răspuns
det(A(1)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că, pentru orice a ∈ (0, +∞), matricea A(a) este inversabilă.

Dezvoltând după ultima coloană (are un singur element nenul pe poziția (3,3), egal cu 1): det(A(a)) = 1·(1·a − 0·0) = a.
Pentru a ∈ (0, +∞), det(A(a)) = a ≠ 0, deci A(a) este inversabilă.
Răspuns
det(A(a)) = a ≠ 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, pentru orice a ∈ (0, +∞), det(A(a) + (A(a))⁻¹) ≥ 8, unde (A(a))⁻¹ este inversa matricei A(a).

Se verifică prin înmulțire că (A(a))⁻¹ = 10001a0−1−log₂a01.
A(a) + (A(a))⁻¹ = 2000a+1a0002, o matrice diagonală, deci determinantul este 4(a + 1a).
Pentru a > 0: a + 1a − 2 = (√a − 1√a)² ≥ 0, deci a + 1a ≥ 2.
Prin urmare det(A(a) + (A(a))⁻¹) = 4(a + 1a) ≥ 8.
Răspuns
det = 4(a + 1a) ≥ 8
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = xy − m(x + y) + m(m + 1), unde m ∈ (0, +∞).

a) (5p) Pentru m = 1, arătați că 2∘2 = 2.

Pentru m = 1: x∘y = xy − (x + y) + 2.
2∘2 = 4 − 4 + 2 = 2.
Răspuns
2∘2 = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că, dacă 2∘1 = 5, atunci 2∘5 = 1.

2∘1 = 2 − 3m + m² + m = m² − 2m + 2 = 5, deci m² − 2m − 3 = 0, cu soluțiile m = 3 și m = −1.
Cum m ∈ (0, +∞), m = 3.
2∘5 = 10 − 3·7 + 3·4 = 10 − 21 + 12 = 1.
Răspuns
m = 3 și 2∘5 = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x, știind că (mx³)∘(−mx²) = m, pentru orice m ∈ (0, +∞).

(mx³)∘(−mx²) = −m²x⁵ − m(mx³ − mx²) + m² + m = −m²x⁵ − m²x³ + m²x² + m² + m.
Egalitatea cu m devine m²(−x⁵ − x³ + x² + 1) = 0 și, cum m ≠ 0, x⁵ + x³ − x² − 1 = 0.
x³(x² + 1) − (x² + 1) = 0 ⇔ (x² + 1)(x³ − 1) = 0; cum x² + 1 > 0, x³ = 1, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x⁴ − 2 − 4ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 4(x² + 1)(x + 1)(x − 1)x, x ∈ (0, +∞).

f'(x) = 4x³ − 4x = 4x⁴ − 4x = 4(x⁴ − 1)x.
x⁴ − 1 = (x² + 1)(x² − 1) = (x² + 1)(x + 1)(x − 1), deci f'(x) = 4(x² + 1)(x + 1)(x − 1)x.
Răspuns
f'(x) = 4(x² + 1)(x + 1)(x − 1)x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

Pe (0, +∞), factorii 4, x² + 1, x + 1 și x sunt pozitivi, deci semnul lui f' e semnul lui x − 1; f'(x) = 0 ⇔ x = 1.
f'(x) ≤ 0 pe (0, 1], deci f e descrescătoare pe (0, 1].
f'(x) ≥ 0 pe [1, +∞), deci f e crescătoare pe [1, +∞).
Răspuns
f descrescătoare pe (0, 1], crescătoare pe [1, +∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ecuația f(x) = 0 are exact două soluții distincte în intervalul (0, +∞).

limx→0, x > 0 f(x) = +∞ (x⁴ − 2 → −2, iar −4ln x → +∞) și limx→+∞ f(x) = +∞ (x⁴ domină pe ln x).
f(1) = 1 − 2 − 0 = −1 < 0.
f e continuă, strict descrescătoare pe (0, 1) (cu valori de la +∞ la −1) și strict crescătoare pe (1, +∞) (de la −1 la +∞), deci are exact o soluție în (0, 1) și exact una în (1, +∞).
Răspuns
exact două soluții
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1 + 2xx⁴ + 1.