Rezolvare BAC 2021 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea a II-a (toamnă) 2021 (Proba E.c) — august 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 3(4 − i) + 3i(1 + i) = 9, unde i² = −1.

3(4 − i) + 3i(1 + i) = 12 − 3i + 3i + 3i².
Cum i² = −1: 12 − 3 = 9.
Răspuns
9
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 4. Calculați (f∘f)(2).

f(2) = 4 − 4 = 0.
(f∘f)(2) = f(f(2)) = f(0) = −4.
Răspuns
−4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(x² − 2x + 4) = 1.

x² − 2x + 4 = 3¹ = 3, deci x² − 2x + 1 = 0, adică (x − 1)² = 0.
x = 1; verificare: 1 − 2 + 4 = 3 > 0, deci convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10.

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Cele divizibile cu 10 sunt 10, 20, …, 90: 9 cazuri favorabile.
p = 990 = 110.
Răspuns
p = 110
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,4) și B(3,a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctele O, A și B sunt coliniare.

Panta dreptei OA este 42 = 2, iar panta dreptei OB este a3.
O, A, B coliniare ⇔ pantele sunt egale: a3 = 2, deci a = 6.
Răspuns
a = 6
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră E(x) = cos x + cos2x + cos3x, unde x este număr real. Arătați că E(π4) = 0.

E(π4) = cos(π4) + cos(π2) + cos(3π4).
= √22 + 0 + (−√22) = 0.
Răspuns
E(π4) = 0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x,y) = x+3y4y−2yx−3y, unde x și y sunt numere reale.

a) (5p) Arătați că det(A(1,1)) = 0.

A(1,1) = 44−2−2.
det(A(1,1)) = 44−2−2 = −8 − (−8) = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că, dacă matricea A(x,y) este inversabilă, atunci |x| ≠ |y|.

det(A(x,y)) = (x + 3y)(x − 3y) − 4y·(−2y) = x² − 9y² + 8y² = x² − y².
A(x,y) inversabilă ⇔ det(A(x,y)) ≠ 0 ⇔ x² ≠ y², deci |x| ≠ |y|.
Răspuns
det(A(x,y)) = x² − y² ≠ 0, deci |x| ≠ |y|
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile (m,n), de numere întregi, pentru care A(m,n)·A(−m,n) = I₂.

A(m,n)·A(−m,n) = m+3n4n−2nm−3n·−m+3n4n−2n−m−3n = n²−m²00n²−m².
Egalitatea cu I₂ înseamnă n² − m² = 1, adică (n − m)(n + m) = 1.
Pentru numere întregi: n − m = n + m = 1 sau n − m = n + m = −1, deci m = 0 și n = 1, sau m = 0 și n = −1.
Răspuns
(m,n) ∈ {(0,1), (0,−1)}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea A = [0, +∞) se definește legea de compoziție x∘y = 4ˣʸ − (1 − x − y).

a) (5p) Arătați că 2∘0 = 2.

2∘0 = 4⁰ − (1 − 2 − 0) = 1 − (−1).
= 1 + 1 = 2.
Răspuns
2∘0 = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că x∘(1x) ≥ 5, pentru orice x ∈ A, x ≠ 0.

x∘(1x) = 4¹ − 1 + x + 1x = x + 1x + 3 = x + 1x − 2 + 5.
x + 1x − 2 = x² − 2x + 1x = (x − 1)²x ≥ 0, pentru x > 0.
Deci x∘(1x) = (x − 1)²x + 5 ≥ 5.
Răspuns
x∘(1x) = (x − 1)²x + 5 ≥ 5
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, dacă m și n sunt numere naturale impare, atunci m∘n este număr natural impar.

m∘n = 4ᵐⁿ + m + n − 1.
m, n impare ⇒ m ≥ 1, n ≥ 1, deci mn ≥ 1 și 4ᵐⁿ este număr natural par.
m + n e par, deci m + n − 1 e număr natural impar; suma dintre un număr par și unul impar este impară, deci m∘n e număr natural impar.
Răspuns
m∘n = 4ᵐⁿ + (m + n − 1), par + impar = impar
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x³ − 3ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3(x − 1)(x² + x + 1)x, x ∈ (0, +∞).

f'(x) = 3x² − 3x = 3x³ − 3x = 3(x³ − 1)x.
x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1), deci f'(x) = 3(x − 1)(x² + x + 1)x.
Răspuns
f'(x) = 3(x − 1)(x² + x + 1)x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = 1 − 0 = 1 și f'(1) = 0.
Ecuația tangentei: y − f(1) = f'(1)(x − 1), adică y − 1 = 0.
Răspuns
y = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că x³ ≥ 3ln x + 1, pentru orice x ∈ (0, +∞).

x² + x + 1 > 0 și x > 0, deci semnul lui f' e semnul lui x − 1: f'(x) ≤ 0 pe (0, 1] și f'(x) ≥ 0 pe [1, +∞).
f e descrescătoare pe (0, 1] și crescătoare pe [1, +∞), deci f(x) ≥ f(1) = 1 pentru orice x > 0.
x³ − 3ln x ≥ 1, adică x³ ≥ 3ln x + 1.
Răspuns
f(x) ≥ f(1) = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xeˣ.