Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I, rezervă

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I, rezervă 2018 (Varianta de rezervă a sesiunii din vară 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 1 + i + (i − 1)(1 + i) − (i − 1) = 0, unde i² = −1.

(i − 1)(1 + i) = (i − 1)(i + 1) = i² − 1 = −1 − 1 = −2.
Expresia devine 1 + i − 2 − i + 1 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 2x + 1. Calculați (f∘f)(1).

f(1) = 1 − 2 + 1 = 0.
(f∘f)(1) = f(f(1)) = f(0) = 1.
Răspuns
(f∘f)(1) = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₂(x² − 5x + 7) = log₂3.

Logaritmul e injectiv: x² − 5x + 7 = 3, deci x² − 5x + 4 = 0.
(x − 1)(x − 4) = 0, deci x = 1 sau x = 4.
Pentru ambele valori x² − 5x + 7 = 3 > 0, deci soluțiile convin.
Răspuns
x ∈ {1, 4}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale pare de două cifre, acesta să fie divizibil cu 5.

Numerele pare de două cifre sunt 10, 12, …, 98: 98 − 102 + 1 = 45 de numere, deci 45 de cazuri posibile.
Un număr par divizibil cu 5 se divide cu 10: 10, 20, …, 90, adică 9 cazuri favorabile.
p = 945 = 15.
Răspuns
p = 15
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,3), B(−2,1), C(4,3) și D(8,5). Demonstrați că patrulaterul ABCD este paralelogram.

Mijlocul diagonalei AC: (2 + 42, 3 + 32) = (3, 3).
Mijlocul diagonalei BD: (−2 + 82, 1 + 52) = (3, 3).
Diagonalele AC și BD au același mijloc, deci ABCD este paralelogram.
Răspuns
diagonalele se înjumătățesc, deci ABCD e paralelogram
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin x + 3cos x = 2√2, știind că tg x = 1 și x ∈ (0, π2).

Singurul x ∈ (0, π2) cu tg x = 1 este x = π4.
sin(π4) + 3cos(π4) = √22 + 3√22 = 4√22 = 2√2.
Răspuns
2√2
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea X(a) = a51a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(X(1)) = −4.

X(1) = 1511, deci det(X(1)) = 1511 = 1·1 − 1·5.
det(X(1)) = 1 − 5 = −4.
Răspuns
det(X(1)) = −4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că X(−a) + X(a) = X(−2018) + X(2018), pentru orice număr real a.

X(−a) + X(a) = −a51−a + a51a = 01020, oricare ar fi a.
În particular, pentru a = 2018: X(−2018) + X(2018) = 01020, deci cele două sume sunt egale.
Răspuns
ambele sume sunt egale cu 01020
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile de numere reale (a, b) pentru care X(a)X(b) = X(a) + X(b).

X(a)X(b) = ab+55(a+b)a+bab+5, iar X(a) + X(b) = a+b102a+b.
Egalând elementele: 5(a + b) = 10 și a + b = 2, deci a + b = 2; din ab + 5 = a + b obținem ab = −3.
a și b sunt rădăcinile ecuației t² − 2t − 3 = 0, adică −1 și 3.
Răspuns
(a, b) ∈ {(−1, 3), (3, −1)}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ − 2X² − X + m, unde m este număr real.

a) (5p) Pentru m = 2, arătați că f(2) = 0.

Pentru m = 2: f = X³ − 2X² − X + 2.
f(2) = 2³ − 2·2² − 2 + 2 = 8 − 8 − 2 + 2 = 0.
Răspuns
f(2) = 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că, dacă polinomul f se divide cu X + 1, atunci polinomul f se divide cu X² − 3X + 2.

f se divide cu X + 1 ⇔ f(−1) = 0: −1 − 2 + 1 + m = 0, deci m = 2.
Atunci f = X³ − 2X² − X + 2 = X²(X − 2) − (X − 2) = (X − 2)(X − 1)(X + 1).
Cum X² − 3X + 2 = (X − 1)(X − 2), restul împărțirii lui f la X² − 3X + 2 este 0, deci f se divide cu X² − 3X + 2.
Răspuns
f = (X − 1)(X − 2)(X + 1), divizibil cu X² − 3X + 2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real nenul m, știind că x₁x₂x₃ + x₂x₃x₁ + x₃x₁x₂ = 6, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = 2, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = −1, x₁x₂x₃ = −m.
Aducând la același numitor: x₁x₂x₃ + x₂x₃x₁ + x₃x₁x₂ = x₁² + x₂² + x₃²x₁x₂x₃.
x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² − 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) = 4 + 2 = 6.
Ecuația devine 6−m = 6, deci m = −1.
Răspuns
m = −1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = xx + 1 + x + 1x + 2 + x + 2x + 3.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 1(x + 1)² + 1(x + 2)² + 1(x + 3)², x ∈ (−1, +∞).

f'(x) = 1·(x + 1) − x·1(x + 1)² + 1·(x + 2) − (x + 1)·1(x + 2)² + 1·(x + 3) − (x + 2)·1(x + 3)².
Numărătorii sunt x + 1 − x = 1, x + 2 − x − 1 = 1 și x + 3 − x − 2 = 1, deci f'(x) = 1(x + 1)² + 1(x + 2)² + 1(x + 3)².
Răspuns
f'(x) = 1(x + 1)² + 1(x + 2)² + 1(x + 3)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

Fiecare fracție are numărătorul și numitorul de gradul 1, cu coeficienți dominanți 1, deci tinde la 1 când x→+∞.
limx→+∞ f(x) = 1 + 1 + 1 = 3, deci dreapta y = 3 este asimptotă orizontală spre +∞.
Răspuns
y = 3
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați imaginea funcției f.

f'(x) > 0 pentru orice x ∈ (−1, +∞), deci f este strict crescătoare pe (−1, +∞).
limx→−1, x > −1 f(x) = −∞, fiindcă xx + 1 → −10⁺ = −∞, iar ceilalți doi termeni au limite finite (0 și 12).
limx→+∞ f(x) = 3, iar f e continuă și strict crescătoare, deci ia toate valorile dintre −∞ și 3, fără 3: Im f = (−∞, 3).
Răspuns
Im f = (−∞, 3)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 3x² + 2x + 1 + ln x.