Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea a II-a (toamnă) 2018 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √3(√3 − 1)(√3 + 1) − √12 = 0.

(√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2, iar √12 = 2√3.
√3·2 − 2√3 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Determinați numărul real a, pentru care graficele funcțiilor f:R→R, f(x) = x² + 2x + 3 și g:R→R, g(x) = x + a se intersectează într-un punct de abscisă x = 1.

Graficele se intersectează în punctul de abscisă 1 ⇔ f(1) = g(1).
1 + 2 + 3 = 1 + a, deci 6 = 1 + a și a = 5.
Răspuns
a = 5
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x + 1 = 1 − √x.

Condiții: x ≥ 0. Ridicăm la pătrat: x + 1 = 1 − 2√x + x, deci 2√x = 0.
x = 0; verificare: √1 = 1 − 0, adevărat, deci x = 0 convine.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii {0, 1, 2, 3, 4}.

Cifra sutelor nu poate fi 0: se alege în 4 moduri.
Cifra zecilor se alege din cele 4 cifre rămase (inclusiv 0), iar cifra unităților din 3 rămase: 4·4·3 = 48.
Răspuns
48 de numere
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră dreptele d₁, de ecuație y = ax + 2 și d₂, de ecuație y = x4 + 1. Determinați numărul real a, știind că dreptele d₁ și d₂ sunt paralele.

Panta lui d₁ este a, iar panta lui d₂ este 14.
Dreptele (cu ordonate la origine diferite, 2 ≠ 1) sunt paralele ⇔ pantele sunt egale: a = 14.
Răspuns
a = 14
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin(π − x)cos(2π + x) − sin(2π + x)cos(π − x) = sin2x, pentru orice număr real x.

sin(π − x) = sin x, cos(2π + x) = cos x, sin(2π + x) = sin x, cos(π − x) = −cos x.
Expresia devine sin x·cos x − sin x·(−cos x) = 2sin x·cos x = sin2x.
Răspuns
sin2x
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001, A = −3−232 și M(x) = I₂ + xA, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(M(1)) = 0.

M(1) = I₂ + A = −2−233.
det(M(1)) = −2−233 = (−2)·3 − 3·(−2) = −6 + 6 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că M(x) − M(2018) = M(−2018) − M(−x), pentru orice număr real x.

M(x) − M(2018) = (I₂ + xA) − (I₂ + 2018A) = xA − 2018A.
M(−2018) − M(−x) = (I₂ − 2018A) − (I₂ − xA) = xA − 2018A, deci cele două expresii sunt egale.
Răspuns
M(x) − M(2018) = M(−2018) − M(−x)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechea de numere naturale nenule (m, n) pentru care M(m)M(n) = M(mn).

A·A = 9−66−4−9+6−6+4 = 32−3−2 = −A.
M(m)M(n) = I₂ + mA + nA + mnA·A = I₂ + (m + n − mn)A.
Egalitatea cu M(mn) = I₂ + mnA (A ≠ O₂) dă m + n − mn = mn, adică m + n = 2mn.
Pentru m, n ≥ 1: 2mn − m − n = m(n − 1) + n(m − 1) ≥ 0, cu egalitate doar pentru m = n = 1.
Răspuns
(m, n) = (1, 1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y = 8xy + x + y.

a) (5p) Arătați că x∘y = 8(x + 18)(y + 18) − 18, pentru orice numere reale x și y.

8(x + 18)(y + 18) = 8(xy + x8 + y8 + 164) = 8xy + x + y + 18.
Scăzând 18 obținem 8xy + x + y = x∘y.
Răspuns
x∘y = 8(x + 18)(y + 18) − 18
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x, pentru care x∘x = 1.

x∘x = 8(x + 18)² − 18 = 1 ⇔ (x + 18)² = 964.
x + 18 = 38 sau x + 18 = −38, deci x = 14 sau x = −12.
Răspuns
x = −12 sau x = 14
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 8x + 1. Demonstrați că f(x∘y∘z) = f(x)·f(y)·f(z), pentru orice numere reale x, y și z.

f(x∘y) = 8(8xy + x + y) + 1 = 64xy + 8x + 8y + 1 = (8x + 1)(8y + 1) = f(x)·f(y).
Legea fiind asociativă: f(x∘y∘z) = f((x∘y)∘z) = f(x∘y)·f(z) = f(x)·f(y)·f(z).
Răspuns
f(x∘y∘z) = f(x)·f(y)·f(z)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 1x² + 3.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (1 − x)(x + 3)(x² + 3)², x∈R.

f'(x) = 1·(x² + 3) − (x + 1)·2x(x² + 3)².
Numărătorul: x² + 3 − 2x² − 2x = −x² − 2x + 3 = (1 − x)(x + 3).
Răspuns
f'(x) = (1 − x)(x + 3)(x² + 3)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = 13 și f'(0) = 1·39 = 13.
Tangenta: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y = x3 + 13.
Răspuns
y = (13)x + 13
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(√2) > f(∛3).

Pentru x > 1: 1 − x < 0 și x + 3 > 0, deci f'(x) < 0, iar f este strict descrescătoare pe [1, +∞).
Comparăm √2 și ∛3 ridicând la puterea a 6-a: (√2)⁶ = 8 < 9 = (∛3)⁶, deci 1 < √2 < ∛3.
f fiind strict descrescătoare pe [1, +∞), obținem f(√2) > f(∛3).
Răspuns
f(√2) > f(∛3)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xeˣ.