Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 tehnologic, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea a II-a (toamnă) 2018 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (2 − 12)(3 − 13)(4 − 14)·(15) = 3.

2 − 12 = 32, 3 − 13 = 83, 4 − 14 = 154.
(32)·(83)·(154)·(15) = 3·8·152·3·4·5 = 360120 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 2. Determinați numerele reale a pentru care f(a) + f(a + 1) = 5.

a² + 2 + (a + 1)² + 2 = 5 ⇔ 2a² + 2a + 5 = 5 ⇔ 2a² + 2a = 0.
2a(a + 1) = 0, deci a = −1 sau a = 0.
Răspuns
a = −1 sau a = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5²ˣ⁻⁴ = 25.

25 = 5², deci 5²ˣ⁻⁴ = 5², adică 2x − 4 = 2.
x = 3.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}, acesta să fie un număr divizibil cu 10.

M are 9 elemente: 9 cazuri posibile.
Divizibile cu 10 sunt 10, 20, 30, 40, 50: 5 cazuri favorabile, deci p = 59.
Răspuns
p = 59
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(6,1) și B(2,5). Calculați lungimea segmentului OM, unde M este mijlocul segmentului AB.

M(6 + 22, 1 + 52) = M(4, 3).
OM = √4² + 3² = √25 = 5.
Răspuns
OM = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că 2sin45°·cos45° − sin²45° − cos²60° = 14.

sin45° = cos45° = √22 și cos60° = 12.
2·(√22)·(√22) − (√22)² − (12)² = 1 − 12 − 14 = 14.
Răspuns
14
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 5148 și M(a) = a−214a+1, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 36.

det A = 5148 = 5·8 − 4·1 = 40 − 4 = 36.
Răspuns
36
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea M(a) este inversabilă.

det(M(a)) = a−214a+1 = (a − 2)(a + 1) − 4 = a² − a − 6 = (a + 2)(a − 3).
M(a) este inversabilă ⇔ det(M(a)) ≠ 0 ⇔ a ≠ −2 și a ≠ 3.
Răspuns
a ∈ R \ {−2, 3}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care M(x)·M(y) = A.

M(x)·M(y) = xy−2x−2y+8x+y−14x+4y−4xy+x+y+5.
Egalând cu A: x + y − 1 = 1, deci x + y = 2; din xy − 2(x + y) + 8 = 5 obținem xy = 1.
x și y sunt rădăcinile ecuației t² − 2t + 1 = 0, deci x = y = 1 (se verifică și 4x + 4y − 4 = 4, xy + x + y + 5 = 8).
Răspuns
x = 1, y = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ + mX − 6, unde m este număr real.

a) (5p) Arătați că f(1) = m − 5, pentru orice număr real m.

f(1) = 1³ + m·1 − 6 = 1 + m − 6 = m − 5.
Răspuns
f(1) = m − 5
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real m pentru care x₁² + x₂² + x₃² = 4, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Din relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = 0 și x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = m.
x₁² + x₂² + x₃² = 0² − 2m = −2m.
−2m = 4, deci m = −2.
Răspuns
m = −2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru m = −7, determinați numerele reale p și q, pentru care f = (X + 1)(X² + pX + q).

Pentru m = −7: f = X³ − 7X − 6.
(X + 1)(X² + pX + q) = X³ + (p + 1)X² + (p + q)X + q.
Identificând coeficienții: p + 1 = 0, p + q = −7, q = −6, deci p = −1 și q = −6.
Răspuns
p = −1, q = −6
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ − 3x² + 3.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3x(x − 2), x∈R.

f'(x) = 3x² − 3·2x = 3x² − 6x = 3x(x − 2).
Răspuns
f'(x) = 3x(x − 2)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = 1 − 3 + 3 = 1 și f'(1) = 3·1·(−1) = −3.
Tangenta: y − 1 = −3(x − 1), adică y = −3x + 4.
Răspuns
y = −3x + 4
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(x) ≥ −1, pentru orice x∈[0, +∞).

Pe [0, 2]: x ≥ 0 și x − 2 ≤ 0, deci f'(x) ≤ 0 și f e descrescătoare; pe [2, +∞): f'(x) ≥ 0 și f e crescătoare.
Deci f(x) ≥ f(2) pentru orice x ≥ 0, iar f(2) = 8 − 12 + 3 = −1.
Rezultă f(x) ≥ −1, pentru orice x∈[0, +∞).
Răspuns
f(x) ≥ −1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x² − x pentru x∈(−∞, 1] și f(x) = 2 + (1x)·ln x pentru x∈(1, +∞).

a) (5p) Arătați că ∫[−1,1] f(x) dx = 2.

Pe [−1, 1], f(x) = 3x² − x, deci ∫[−1,1] (3x² − x) dx = [x³ − x²2] de la −1 la 1.
= (1 − 12) − (−1 − 12) = 12 + 32 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că funcția f admite primitive pe R.

limx→1, x < 1 (3x² − x) = 2, limx→1, x > 1 (2 + ln xx) = 2 + 0 = 2 și f(1) = 3 − 1 = 2, deci f este continuă în x = 1.
Pe (−∞, 1) și pe (1, +∞) f este continuă (operații cu funcții continue), deci f este continuă pe R.
Orice funcție continuă pe un interval admite primitive, deci f admite primitive pe R.
Răspuns
f este continuă pe R, deci admite primitive
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural n pentru care ∫[0,2] f(x) dx = n² − 4 + ln²22.

∫[0,1] (3x² − x) dx = [x³ − x²2] de la 0 la 1 = 12.
∫[1,2] (2 + ln xx) dx = [2x + ln²x2] de la 1 la 2 = 4 + ln²22 − 2 = 2 + ln²22.
Suma: 12 + 2 + ln²22 = 5 + ln²22.
5 + ln²22 = n² − 4 + ln²22 ⇔ n² = 9, iar n natural dă n = 3.
Răspuns
n = 3
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri