Rezolvare BAC 2025 Matematică M2 tehnologic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2025 (Proba E.c) — 23.05.2025): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ), în care a₁ = 3 și a₂ = 9.

Rația: r = a₂ − a₁ = 6.
a₃ = a₂ + r = 15.
Răspuns
a₃ = 15
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x − 5. Arătați că f(3) + f(2) + f(0) = 0.

f(3) = 4, f(2) = 1 și f(0) = −5, deci suma este 4 + 1 − 5 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √9x − 5 = 2.

Ridicând la pătrat: 9x − 5 = 4, deci x = 1.
Pentru x = 1, 9x − 5 = 4 ≥ 0, deci soluția convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) După o ieftinire cu 30%, un obiect costă 56 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Dacă x e prețul inițial: x − (30100)x = 56, adică (70100)x = 56.
x = 80 de lei.
Răspuns
80 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 1), B(5, 6) și C(7, 2). Arătați că AB = AC.

AB = √5² + 5² = 5√2.
AC = √7² + 1² = √50 = 5√2, deci AB = AC.
Răspuns
AB = AC = 5√2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că (sin30° + 3cos60°)·(sin45°)² = 1.

sin30° = 12, cos60° = 12 și sin45° = √22.
(12 + 32)·(√22)² = 2·(12) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 12−21 și B(x) = 2x−12x, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 5.

det A = 1·1 − 2·(−2) = 1 + 4 = 5.
Răspuns
det A = 5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A + 3I₂ = 2B(1).

A + 3I₂ = 42−24.
Aceasta e 2·21−12 = 2B(1).
Răspuns
A + 3I₂ = 2B(1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(B(2x) − B(x)·A) = x².

B(2x) = 22x−14x și B(x)·A = 2−2x4+x−1−4x−2+2x.
B(2x) − B(x)·A = 2xx−44x2x+2, cu determinantul 2x(2x + 2) − 4x(x − 4) = 20x.
20x = x² ⇔ x(x − 20) = 0, deci x = 0 sau x = 20.
Răspuns
x = 0 sau x = 20
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy − 8x − 8y + 8.

a) (5p) Arătați că 0 ∗ 1 = 0.

0 ∗ 1 = 0·1 − 8·0 − 8·1 + 8 = 0.
Răspuns
0 ∗ 1 = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care x ∗ 2 = 2x.

x ∗ 2 = 2x − 8x − 16 + 8 = −6x − 8.
−6x − 8 = 2x, deci −8x = 8 și x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere naturale, cu m < n, pentru care (8 + m) ∗ (8 + n) = 2.

(8 + m) ∗ (8 + n) = (8 + m)(8 + n) − 8(8 + m) − 8(8 + n) + 8 = mn − 56.
mn − 56 = 2 ⇔ mn = 58 = 2·29.
Cu m < n naturale: (1, 58) și (2, 29).
Răspuns
(1, 58) și (2, 29)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−4, +∞)→R, f(x) = 4x + 7x + 4.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 9(x + 4)², x∈(−4, +∞).

f'(x) = 4(x + 4) − (4x + 7)(x + 4)² = 4x + 16 − 4x − 7(x + 4)² = 9(x + 4)².
Răspuns
f'(x) = 9(x + 4)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ 4x + 7x + 4 = limx→+∞ 4 + 7/x1 + 4/x = 4.
Asimptota orizontală spre +∞ este y = 4.
Răspuns
y = 4
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați a∈(−4, +∞), știind că panta tangentei la graficul funcției f în punctul A(a, f(a)) este egală cu 1.

f'(a) = 1 ⇔ 9(a + 4)² = 1 ⇔ (a + 4)² = 9.
Cum a > −4, a + 4 = 3, deci a = −1.
Răspuns
a = −1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−3, +∞)→R, f(x) = 2x + √x + 3.