Rezolvare BAC 2022 Matematică M2 tehnologic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2022 (Proba E.c) — mai 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (1,5 − 0,5)·3 − 2·0,5 = 2.

(1,5 − 0,5)·3 − 2·0,5 = 1·3 − 1 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x − 3. Determinați numărul real a pentru care f(a) = 9.

2a − 3 = 9, deci 2a = 12 și a = 6.
Răspuns
a = 6
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(3x − 1) = log₄5.

3x − 1 = 5, deci x = 2.
Pentru x = 2, 3x − 1 = 5 > 0, deci soluția convine.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, acesta să verifice inegalitatea 5n ≤ 22.

A are 10 elemente: 10 cazuri posibile.
5n ≤ 22 ⇔ n ≤ 4,4: n∈{0, 1, 2, 3, 4}, adică 5 cazuri favorabile.
p = 510 = 12.
Răspuns
p = 12
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−2, 1) și B(6, 3). Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB.

x_M = −2 + 62 = 2 și y_M = 1 + 32 = 2.
Mijlocul este M(2, 2).
Răspuns
M(2, 2)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 4 și BC = 5. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 6.

AB = √25 − 16 = 3.
Aria = AB·AC2 = 3·42 = 6.
Răspuns
Aria = 6
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 2113 și B(x) = 2−xxx2, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 5.

det A = 2·3 − 1·1 = 5.
Răspuns
det A = 5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că 2A − B(2) = 2B(0).

2A − B(2) = 4226 − 0222 = 4004.
Aceasta e 2·2002 = 2B(0).
Răspuns
2A − B(2) = 2B(0)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(B(x)·B(1) − (x + 1)A) = 1.

B(1) = 1112, deci B(x)·B(1) = 2x+2x+2x+4.
B(x)·B(1) − (x + 1)A = −2x111−2x, cu determinantul −2x(1 − 2x) − 1 = 4x² − 2x − 1.
4x² − 2x − 1 = 1 ⇔ 2x² − x − 1 = 0, deci x = −12 sau x = 1.
Răspuns
x = −12 sau x = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = x + y − 6xy.

a) (5p) Arătați că 1 ∘ 1 = −4.

1 ∘ 1 = 1 + 1 − 6 = −4.
Răspuns
1 ∘ 1 = −4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

x ∘ 0 = x + 0 − 0 = x și 0 ∘ x = 0 + x − 0 = x, pentru orice x real.
Deci e = 0 e elementul neutru.
Răspuns
e = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele întregi m pentru care m ∘ (3 − m) < 3.

m ∘ (3 − m) = m + 3 − m − 6m(3 − m) = 3 − 6m(3 − m).
3 − 6m(3 − m) < 3 ⇔ m(3 − m) > 0 ⇔ 0 < m < 3.
Cu m întreg: m = 1 sau m = 2.
Răspuns
m∈{1, 2}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x³ − 3x⁴ + 2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 6x²(1 − 2x), x∈R.

f'(x) = 6x² − 12x³ = 6x²(1 − 2x).
Răspuns
f'(x) = 6x²(1 − 2x)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→+∞ f(x) + 3x⁴x³ + 4 = 2.

f(x) + 3x⁴ = 2x³ + 2.
limx→+∞ 2x³ + 2x³ + 4 = limx→+∞ 2 + 2/x³1 + 4/x³ = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că −32 ≤ 2x³ − 3x⁴ ≤ 116, pentru orice x∈[0, 2].

f'(x) = 0 ⇔ x = 0 sau x = 12; f e crescătoare pe [0, 12] și descrescătoare pe [12, 2].
f(0) = 2, f(12) = 14 − 316 + 2 = 3316 și f(2) = 16 − 48 + 2 = −30.
Pe [0, 2]: −30 ≤ f(x) ≤ 3316; scăzând 2: −32 ≤ 2x³ − 3x⁴ ≤ 116.
Răspuns
−30 ≤ f(x) ≤ 3316 pe [0, 2]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 3eˣ.