Rezolvare BAC 2020 Matematică M2 tehnologic, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea a II-a (toamnă) 2020 (Proba E.c) — octombrie 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (10 + 12)(10 − 12) = 3994.

Diferența de pătrate: (10 + 12)(10 − 12) = 100 − 14.
100 − 14 = 400 − 14 = 3994.
Răspuns
3994
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R, f(x) = 2x + 1 și g:R→R, g(x) = 10 − x.

f(x) = g(x) ⇔ 2x + 1 = 10 − x.
3x = 9, deci x = 3.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₇(x² + 13) = 2.

x² + 13 = 7² = 49, deci x² = 36.
x = −6 sau x = 6; pentru ambele x² + 13 = 49 > 0, deci convin.
Răspuns
x = −6 sau x = 6
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) După o ieftinire cu 20%, prețul unei tablete este 800 de lei. Determinați prețul tabletei înainte de ieftinire.

Fie p prețul inițial: p − (20100)·p = 800, adică (80100)·p = 800.
p = 1000 de lei.
Răspuns
1000 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,1) și B(2,7). Punctul M este mijlocul segmentului AB. Calculați lungimea segmentului AM.

AB = √(2 − 2)² + (7 − 1)² = 6.
M e mijlocul lui AB, deci AM = AB2 = 3.
Răspuns
AM = 3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că 2sin²30° − sin²45° = 0.

sin30° = 12 și sin45° = √22.
2·(12)² − (√22)² = 2·(14) − 24 = 12 − 12 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a+111a−1, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = −2.

A(0) = 111−1, deci det(A(0)) = 111−1 = 1·(−1) − 1·1 = −2.
Răspuns
−2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(a)·A(−a) = (2 − a²)I₂, pentru orice număr real a, unde I₂ = 1001.

A(a)·A(−a) = a+111a−1·−a+111−a−1.
Elementele: (a + 1)(1 − a) + 1 = 2 − a²; (a + 1) − a − 1 = 0; (1 − a) + a − 1 = 0; 1 + (a − 1)(−a − 1) = 1 − (a² − 1) = 2 − a².
Deci A(a)·A(−a) = 2−a²002−a² = (2 − a²)I₂.
Răspuns
A(a)·A(−a) = (2 − a²)I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați matricea X ∈ M₂(R), știind că A(1)·X = A(2).

A(1) = 2110, cu det(A(1)) = −1 ≠ 0, deci A(1) e inversabilă și (A(1))⁻¹ = 011−2.
X = (A(1))⁻¹·A(2) = 011−2·3111 = 111−1.
Răspuns
X = 111−1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x² + xy − x − y + 1.

a) (5p) Arătați că 3∗2 = 11.

3∗2 = 3² + 3·2 − 3 − 2 + 1 = 9 + 6 − 3 − 2 + 1 = 11.
Răspuns
11
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x∗(−x) = 1, pentru orice număr real x.

x∗(−x) = x² + x·(−x) − x − (−x) + 1.
= x² − x² − x + x + 1 = 1, pentru orice număr real x.
Răspuns
x∗(−x) = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care 2ˣ∗4 = 1.

2ˣ∗4 = 2²ˣ + 4·2ˣ − 2ˣ − 4 + 1 = 2²ˣ + 3·2ˣ − 3.
2²ˣ + 3·2ˣ − 3 = 1 ⇔ 2²ˣ + 3·2ˣ − 4 = 0 ⇔ (2ˣ + 4)(2ˣ − 1) = 0.
2ˣ + 4 > 0, deci 2ˣ = 1 și x = 0.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 2x + 3x² + 2x + 2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = −2(x + 1)(x² + 2x + 2)², x∈R.

f'(x) = (2x + 2)(x² + 2x + 2) − (x² + 2x + 3)(2x + 2)(x² + 2x + 2)².
Scoatem factor comun 2x + 2: numărătorul este (2x + 2)(x² + 2x + 2 − x² − 2x − 3) = −(2x + 2) = −2(x + 1).
Deci f'(x) = −2(x + 1)(x² + 2x + 2)².
Răspuns
f'(x) = −2(x + 1)(x² + 2x + 2)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ x² + 2x + 3x² + 2x + 2 = 1 (numărătorul și numitorul au același grad, cu coeficienții dominanți 1 și 1).
Asimptota orizontală spre +∞ este dreapta y = 1.
Răspuns
y = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați imaginea funcției f.

f'(x) = 0 ⇔ x = −1; pe (−∞, −1], f'(x) ≥ 0 (f crescătoare), iar pe [−1, +∞), f'(x) ≤ 0 (f descrescătoare).
limx→−∞ f(x) = 1, f(−1) = 21 = 2 și limx→+∞ f(x) = 1.
f(x) = 1 + 1x² + 2x + 2 > 1, deci f(x) ≠ 1; f fiind continuă, ia toate valorile din (1, 2].
Răspuns
Im f = (1, 2]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 2√(x² + 4).