Rezolvare BAC 2020 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea a II-a (toamnă) 2020 (Proba E.c) — octombrie 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați primul termen al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₂ = 3 și a₃ = 5.

Rația este r = a₃ − a₂ = 2.
a₁ = a₂ − r = 3 − 2 = 1.
Răspuns
a₁ = 1
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 1. Determinați numărul natural n pentru care f(n) = 3.

n² − 1 = 3 ⇔ n² = 4, deci n = −2 sau n = 2.
Cum n este număr natural, n = 2.
Răspuns
n = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x² − 9 = x − 1.

Ridicând la pătrat: x² − 9 = (x − 1)² = x² − 2x + 1, deci 2x = 10 și x = 5.
Verificare: √25 − 9 = 4 = 5 − 1, deci x = 5 convine.
Răspuns
x = 5
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați numărul de submulțimi cu trei elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4}.

Numărul cerut este C(4,3) = 4!3!·1! = 4.
Răspuns
4 submulțimi
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(1,1), N(3,3), P(4,3) și Q(1,a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, pentru care patrulaterul MNPQ este trapez cu bazele MN și PQ.

Panta lui MN: 3 − 13 − 1 = 1; panta lui PQ: a − 31 − 4 = 3 − a3.
Bazele sunt paralele: 3 − a3 = 1, deci 3 − a = 3 și a = 0.
Pentru a = 0, MN = 2√2 ≠ 3√2 = PQ, deci MNPQ e chiar trapez (nu paralelogram).
Răspuns
a = 0
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați lungimea ipotenuzei BC a triunghiului dreptunghic ABC, în care AB = 5 și cos B = 12.

Ipotenuza e BC, deci unghiul drept e A, iar cos B = ABBC.
12 = 5BC, deci BC = 10.
Răspuns
BC = 10
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A = a00b, unde a și b sunt numere reale.

a) (5p) Arătați că det(A·A) = a²b², pentru orice numere reale a și b.

A·A = a²00b².
det(A·A) = a²00b² = a²b² − 0 = a²b².
Răspuns
det(A·A) = a²b²
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Se consideră matricea X ∈ M₂(R) astfel încât A·X = X·A. Demonstrați că, dacă a și b sunt numere reale distincte, atunci există numerele reale x și t astfel încât X = x00t.

Fie X = xyzt. Atunci A·X = axaybzbt și X·A = axbyazbt.
Din egalitate: ay = by și bz = az, adică y(a − b) = 0 și z(a − b) = 0.
Cum a ≠ b, obținem y = z = 0, deci X = x00t.
Răspuns
X = x00t
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru a = 4 și b = 0, determinați matricele Y ∈ M₂(R) pentru care Y·Y = A.

Din Y·Y = A: A·Y = (Y·Y)·Y = Y·(Y·Y) = Y·A, deci Y comută cu A.
Cum a = 4 ≠ 0 = b, din b) Y = α00β, cu α, β ∈ R.
Y·Y = α²00β² = 4000, deci α² = 4 și β² = 0: α = ±2, β = 0.
Răspuns
Y = 2000 sau Y = −2000
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = [0,+∞) se definește legea de compoziție x∗y = x√y + 1 + y√x + 1.

a) (5p) Arătați că 3∗3 = 12.

3∗3 = 3√4 + 3√4 = 3·2 + 3·2 = 12.
Răspuns
12
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x∗0 = 0∗x = x, pentru orice x ∈ M.

x∗0 = x·√1 + 0·√x + 1 = x.
0∗x = 0·√x + 1 + x·√1 = x, deci x∗0 = 0∗x = x, pentru orice x ∈ M.
Răspuns
x∗0 = 0∗x = x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați x ∈ M pentru care (x² + 2x)∗3 = 7.

(x² + 2x)∗3 = (x² + 2x)·√4 + 3√x² + 2x + 1 = 2(x² + 2x) + 3√(x + 1)².
Pentru x ≥ 0, √(x + 1)² = x + 1, deci ecuația devine 2x² + 4x + 3x + 3 = 7, adică 2x² + 7x − 4 = 0.
Rădăcinile sunt x = −4 (nu aparține lui M) și x = 12 (convine).
Răspuns
x = 12
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x·ln(x + 1).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = ln(x + 1) + xx + 1, x ∈ (−1,+∞).

Derivata produsului: f'(x) = x'·ln(x + 1) + x·(ln(x + 1))'.
f'(x) = 1·ln(x + 1) + x·1x + 1 = ln(x + 1) + xx + 1.
Răspuns
f'(x) = ln(x + 1) + xx + 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că funcția f este convexă.

f''(x) = 1x + 1 + (x + 1) − x(x + 1)² = 1x + 1 + 1(x + 1)² = x + 2(x + 1)².
Pentru x > −1, x + 2 > 0, deci f''(x) > 0 și f este convexă.
Răspuns
f''(x) > 0, deci f convexă
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Se consideră funcția g:(−1,0]→R, g(x) = (x + 1)ˣ. Demonstrați că, dacă x₁, x₂ ∈ (−1,0] astfel încât x₁ ≤ x₂, atunci g(x₁) ≥ g(x₂).

Pentru x ∈ (−1, 0]: ln(x + 1) ≤ 0 și xx + 1 ≤ 0, deci f'(x) ≤ 0 și f este descrescătoare pe (−1, 0].
Pentru x₁ ≤ x₂ din (−1, 0]: f(x₁) ≥ f(x₂), adică x₁·ln(x₁ + 1) ≥ x₂·ln(x₂ + 1).
Echivalent ln((x₁ + 1)^x₁) ≥ ln((x₂ + 1)^x₂), iar funcția exponențială e crescătoare, deci (x₁ + 1)^x₁ ≥ (x₂ + 1)^x₂, adică g(x₁) ≥ g(x₂).
Răspuns
g(x₁) ≥ g(x₂)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:[0,1]→R, f(x) = 1 − x³.