Rezolvare BAC 2022 Matematică M2 științe ale naturii, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din simularea 2022 (Simularea națională a clasei a XII-a — martie 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați termenul b₄ al progresiei geometrice (bₙ), știind că b₁ = √2 și b₂ = 4.

Rația: q = b₂b₁ = 4√2 = 2√2.
b₄ = b₁·q³ = √2·(2√2)³ = √2·16√2 = 32.
Răspuns
b₄ = 32
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = mx² − 2x + 1, unde m este număr real nenul. Determinați numărul real nenul m pentru care axa Ox este tangentă graficului funcției f.

Ox e tangentă graficului ⇔ ecuația f(x) = 0 are o rădăcină dublă ⇔ Δ = 0.
Δ = 4 − 4m = 0, deci m = 1.
Răspuns
m = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3ˣ⁺² − 3ˣ − 6·3ˣ⁻¹ = 6.

Scoatem factor comun 3ˣ⁻¹: 3ˣ⁻¹(3³ − 3 − 6) = 18·3ˣ⁻¹ = 6.
3ˣ⁻¹ = 13, deci x − 1 = −1 și x = 0.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Se consideră mulțimea A, a numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A, numărul 2n − 60 să aparțină mulțimii A.

A are 90 de elemente: 90 de cazuri posibile.
2n − 60∈A ⇔ 10 ≤ 2n − 60 ≤ 99 ⇔ 35 ≤ n ≤ 79, adică 45 de cazuri favorabile.
p = 4590 = 12.
Răspuns
p = 12
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1, 4), B(5, 2) și C, mijlocul segmentului AB. Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul C și este perpendiculară pe dreapta AB.

C(2, 3); panta lui AB este 2 − 45 + 1 = −13, deci panta lui d este 3.
d: y − 3 = 3(x − 2), adică y = 3x − 3.
Răspuns
y = 3x − 3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu măsura unghiului A egală cu 120° și AB = 6. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 9√3.

Unghiul de 120° nu poate fi unghi de la bază, deci A e vârful: AC = AB = 6.
Aria = AB·AC·sin120°2 = 6·6·(√3/2)2 = 9√3.
Răspuns
Aria = 9√3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001, A = 01−10 și B(x) = xI₂ + iA, unde x este număr real și i² = −1.

a) (5p) Arătați că det A = 1.

det A = 0·0 − 1·(−1) = 1.
Răspuns
det A = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care B(3)·B(5) = 8B(x).

A·A = −100−1 = −I₂.
B(3)·B(5) = (3I₂ + iA)(5I₂ + iA) = 15I₂ + 8iA + i²·A·A = 15I₂ + 8iA + I₂ = 16I₂ + 8iA.
16I₂ + 8iA = 8(2I₂ + iA) = 8B(2), deci x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile (m, n) de numere întregi pentru care matricea B(m) + iB(n) nu este inversabilă.

B(m) + iB(n) = (m + in)I₂ + (i − 1)A = m+ini−1−i+1m+in.
det(B(m) + iB(n)) = (m + in)² + (i − 1)² = (m + in)² − 2i = m² − n² + 2(mn − 1)i.
Nu e inversabilă ⇔ determinantul e 0 ⇔ m² = n² și mn = 1; cu m, n întregi: (m, n) = (−1, −1) sau (1, 1).
Răspuns
(−1, −1) și (1, 1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = [1, +∞) se definește legea de compoziție x ∗ y = xy − √(x − 1)(y − 1).

a) (5p) Arătați că 2 ∗ 5 = 8.

2 ∗ 5 = 2·5 − √(2 − 1)(5 − 1) = 10 − √4 = 8.
Răspuns
2 ∗ 5 = 8
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 1 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x ∗ 1 = x·1 − √(x − 1)·0 = x, pentru orice x∈M.
1 ∗ x = 1·x − √0·(x − 1) = x, pentru orice x∈M, deci e = 1 e elementul neutru.
Răspuns
e = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că (nx) ∗ y ≥ x(n ∗ y), pentru orice x, y∈M și orice număr natural n, n ≥ 2.

(nx) ∗ y − x(n ∗ y) = nxy − √(nx − 1)(y − 1) − nxy + x√(n − 1)(y − 1) = √y − 1·(x√n − 1 − √nx − 1).
x√n − 1 − √nx − 1 = x²(n − 1) − (nx − 1)x√(n − 1) + √(nx − 1) = (x − 1)(nx − x − 1)x√(n − 1) + √(nx − 1).
Pentru x ≥ 1 și n ≥ 2: x − 1 ≥ 0 și nx − x − 1 = x(n − 1) − 1 ≥ 0, deci diferența e ≥ 0.
Deci (nx) ∗ y ≥ x(n ∗ y).
Răspuns
(nx) ∗ y − x(n ∗ y) ≥ 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 4√xx² + 3.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 6(1 − x²)√x(x² + 3)², x∈(0, +∞).

f'(x) = (2/√x)(x² + 3) − 4√x·2x(x² + 3)².
Aducând la numitorul √x: 2(x² + 3) − 8x²√x(x² + 3)² = 6 − 6x²√x(x² + 3)² = 6(1 − x²)√x(x² + 3)².
Răspuns
f'(x) = 6(1 − x²)√x(x² + 3)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați a∈(0, +∞), știind că tangenta la graficul funcției f în punctul A(a, f(a)) este paralelă cu axa Ox.

Tangenta e paralelă cu Ox ⇔ f'(a) = 0 ⇔ 1 − a² = 0.
Cum a > 0, a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că √xx² + 3 > √(x + 1/x)x² + 1/x² + 5, pentru orice x∈(1, +∞).

Pentru x > 1, f'(x) < 0, deci f e strict descrescătoare pe (1, +∞).
1 < x < x + 1x, deci f(x) > f(x + 1x).
f(x + 1x) = 4√(x + 1/x)(x + 1/x)² + 3 = 4√(x + 1/x)x² + 1/x² + 5; împărțind cu 4 se obține inegalitatea.
Răspuns
f(x) > f(x + 1x)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ + 2xeˣ.