Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 științe ale naturii, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din modelul 2018 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că suma elementelor mulțimii {n ∈ N | n(n + 2) < 14} este egală cu 3.

n(n + 2) crește cu n: 0·2 = 0, 1·3 = 3, 2·4 = 8 sunt mai mici decât 14, iar 3·5 = 15 nu.
Mulțimea este {0, 1, 2}, cu suma 0 + 1 + 2 = 3.
Răspuns
3
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = ax + b. Determinați numerele reale a și b, știind că f(0) = 1 și f(x + 1) = f(x) + 2, pentru orice număr real x.

f(0) = b = 1.
f(x + 1) = a(x + 1) + 1 = ax + a + 1, iar f(x) + 2 = ax + 3; egalitatea pentru orice x dă a + 1 = 3, deci a = 2.
Răspuns
a = 2, b = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația (x + 5)² − 9 > 0.

Diferență de pătrate: (x + 5 − 3)(x + 5 + 3) = (x + 2)(x + 8) > 0.
Produsul e pozitiv în afara rădăcinilor −8 și −2: x ∈ (−∞, −8) ∪ (−2, +∞).
Răspuns
x ∈ (−∞, −8) ∪ (−2, +∞)
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați numărul submulțimilor ordonate cu două elemente ale mulțimii {1, 3, 5, 7, 9}.

Submulțimile ordonate cu 2 elemente dintr-o mulțime cu 5 elemente sunt aranjamente: A(5,2).
A(5,2) = 5·4 = 20.
Răspuns
20
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2), B(3,5) și C(−1,3). Determinați coordonatele simetricului punctului A față de mijlocul segmentului BC.

Mijlocul lui BC: M(3 − 12, 5 + 32) = M(1, 4).
Simetricul A' al lui A față de M: M e mijlocul lui AA', deci x = 2·1 − 0 = 2 și y = 2·4 − 2 = 6.
Răspuns
A'(2, 6)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați sinusul unghiului D al triunghiului DEF, știind că semiperimetrul triunghiului DEF este egal cu 6, DE = 4 și DF = 5.

Perimetrul e 12, deci EF = 12 − 4 − 5 = 3.
DE² + EF² = 16 + 9 = 25 = DF², deci triunghiul e dreptunghic în E (reciproca teoremei lui Pitagora).
sin D = EFDF = 35.
Răspuns
sin D = 35
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1010−111−10 și I₃ = 100010001.

a) (5p) Arătați că det A = 2.

1010−111−10 = 0 + 0 + 0 − (−1) − (−1) − 0 = 1 + 1 = 2.
Răspuns
det A = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care A·A·A = xA + yI₃.

A·A = 2−1110−1110, iar A·A·A = 3010111−12.
xA + yI₃ = x+y0x0−x+yxx−xy.
Din elementul (1,3): x = 1; din elementul (3,3): y = 2. Verificare: x + y = 3 și −x + y = 1, corect.
Răspuns
x = 1, y = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați inversa matricei B = A + I₃.

B = 2010011−11, cu det B = 0 + 0 + 0 − 0 − 0 − (−2) = 2 ≠ 0, deci B e inversabilă.
Calculând complemenții algebrici (matricea adjunctă) și împărțind la det B: B⁻¹ = 12−1201212−1010.
Verificare: B·B⁻¹ = I₃ (de exemplu, linia 1 a lui B ori coloana 2: 2·(−12) + 0 + 1·1 = 0).
Răspuns
B⁻¹ = 12−1201212−1010
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = (0,+∞) se definește legea de compoziție x∘y = x^2log₃y.

a) (5p) Arătați că 2∘9 = 16.

log₃9 = 2, deci 2∘9 = 2^2·2 = 2⁴.
2⁴ = 16.
Răspuns
16
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x, x ∈ M pentru care x∘3 = 25.

log₃3 = 1, deci x∘3 = x² = 25.
x = −5 nu aparține lui M, iar x = 5 convine.
Răspuns
x = 5
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

x∘y = x^2log₃y = 3^{log₃x·2log₃y} = 3^{2·log₃x·log₃y}.
Expresia 2·log₃x·log₃y e simetrică în x și y, deci y∘x = 3^{2·log₃y·log₃x} = x∘y, pentru orice x, y din M.
Răspuns
x∘y = y∘x
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = eˣx − 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ(x − 2)(x − 1)², x ∈ (1,+∞).

f'(x) = eˣ(x − 1) − eˣ·1(x − 1)².
Numărătorul: eˣ(x − 1 − 1) = eˣ(x − 2), deci f'(x) = eˣ(x − 2)(x − 1)².
Răspuns
f'(x) = eˣ(x − 2)(x − 1)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

eˣ > 0 și (x − 1)² > 0, deci semnul lui f' e semnul lui x − 2; f'(x) = 0 ⇔ x = 2.
Pe (1, 2]: f'(x) ≤ 0, deci f e descrescătoare; pe [2, +∞): f'(x) ≥ 0, deci f e crescătoare.
Răspuns
descrescătoare pe (1, 2], crescătoare pe [2, +∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că e^x−2 − x + 1 ≥ 0, pentru orice x ∈ (1,+∞).

Din b), x = 2 e punct de minim: f(x) ≥ f(2) = e², pentru orice x ∈ (1,+∞).
eˣx − 1 ≥ e²; înmulțind cu x − 1e² > 0: e^x−2 ≥ x − 1, adică e^x−2 − x + 1 ≥ 0.
Răspuns
e^x−2 − x + 1 ≥ 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = sin x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că ∫[0,π3] f(x) dx = 12.

Primitiva lui sin x este −cos x.
[−cos x] de la 0 la π3 = −12 + 1 = 12.
Răspuns
12
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că ∫[0,π2] x·f(x) dx = 1.

Prin părți, cu x·sin x = x·(−cos x)': ∫ x·sin x dx = −x·cos x + ∫ cos x dx = −x·cos x + sin x.
[−x·cos x + sin x] de la 0 la π2 = (−(π2)·0 + 1) − (0 + 0) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g:[0,π4]→R, g(x) = f(x).

V = π∫[0,π4] g²(x) dx = π∫[0,π4] sin²x dx = π∫[0,π4] 1 − cos(2x)2 dx.
Primitiva: x2 − sin(2x)4; între 0 și π4: π8 − 14.
V = π(π8 − 14) = π(π − 2)8.
Răspuns
V = π(π − 2)8
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 științe ale naturii, modelul

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că suma elementelor mulțimii {n ∈ N | n(n + 2) < 14} este egală cu 3.

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = ax + b. Determinați numerele reale a și b, știind că f(0) = 1 și f(x + 1) = f(x) + 2, pentru orice număr real x.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația (x + 5)² − 9 > 0.

4. (5p) Determinați numărul submulțimilor ordonate cu două elemente ale mulțimii {1, 3, 5, 7, 9}.

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2), B(3,5) și C(−1,3). Determinați coordonatele simetricului punctului A față de mijlocul segmentului BC.

6. (5p) Calculați sinusul unghiului D al triunghiului DEF, știind că semiperimetrul triunghiului DEF este egal cu 6, DE = 4 și DF = 5.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că det A = 2.

b) (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care A·A·A = xA + yI₃.

c) (5p) Determinați inversa matricei B = A + I₃.

a) (5p) Arătați că 2∘9 = 16.

b) (5p) Determinați numărul real x, x ∈ M pentru care x∘3 = 25.

c) (5p) Demonstrați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ(x − 2)(x − 1)², x ∈ (1,+∞).

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

c) (5p) Demonstrați că e^x−2 − x + 1 ≥ 0, pentru orice x ∈ (1,+∞).

a) (5p) Arătați că ∫[0,π3] f(x) dx = 12.

b) (5p) Arătați că ∫[0,π2] x·f(x) dx = 1.

c) (5p) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g:[0,π4]→R, g(x) = f(x).

Acum încearcă singur

Alte rezolvări M2 științe ale naturii

Rezolvare BAC 2018 Matematică M2 științe ale naturii, modelul

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că suma elementelor mulțimii {n ∈ N | n(n + 2) < 14} este egală cu 3.

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = ax + b. Determinați numerele reale a și b, știind că f(0) = 1 și f(x + 1) = f(x) + 2, pentru orice număr real x.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația (x + 5)² − 9 > 0.

4. (5p) Determinați numărul submulțimilor ordonate cu două elemente ale mulțimii {1, 3, 5, 7, 9}.

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2), B(3,5) și C(−1,3). Determinați coordonatele simetricului punctului A față de mijlocul segmentului BC.

6. (5p) Calculați sinusul unghiului D al triunghiului DEF, știind că semiperimetrul triunghiului DEF este egal cu 6, DE = 4 și DF = 5.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că det A = 2.

b) (5p) Determinați numerele reale x și y pentru care A·A·A = xA + yI₃.

c) (5p) Determinați inversa matricei B = A + I₃.

a) (5p) Arătați că 2∘9 = 16.

b) (5p) Determinați numărul real x, x ∈ M pentru care x∘3 = 25.

c) (5p) Demonstrați că legea de compoziție „∘” este comutativă.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ(x − 2)(x − 1)², x ∈ (1,+∞).

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

c) (5p) Demonstrați că ex−2 − x + 1 ≥ 0, pentru orice x ∈ (1,+∞).

a) (5p) Arătați că ∫[0,π3] f(x) dx = 12.

b) (5p) Arătați că ∫[0,π2] x·f(x) dx = 1.

c) (5p) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției g:[0,π4]→R, g(x) = f(x).

Acum încearcă singur

Alte rezolvări M2 științe ale naturii

c) (5p) Demonstrați că e^x−2 − x + 1 ≥ 0, pentru orice x ∈ (1,+∞).