Rezolvare BAC 2019 Matematică M2 științe ale naturii, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din modelul 2019 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul a = (11 − i − 11 + i)² este întreg, unde i² = −1.

11 − i − 11 + i = (1 + i) − (1 − i)(1 − i)(1 + i) = 2i1 − i² = 2i2 = i.
a = i² = −1, care este număr întreg.
Răspuns
a = −1
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Determinați cel mai mare număr natural m pentru care soluțiile ecuației x² − 7x + m = 0 sunt numere reale.

Δ = 49 − 4m.
Soluțiile sunt reale ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ m ≤ 494 = 12,25, deci cel mai mare număr natural m este 12.
Răspuns
m = 12
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3ˣ + 3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺² = 117.

Scoatem factor comun 3ˣ: 3ˣ(1 + 3 + 9) = 117, adică 13·3ˣ = 117.
3ˣ = 9 = 3², deci x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 36 de submulțimi cu două elemente.

Dacă mulțimea are n elemente, numărul submulțimilor cu două elemente este C(n,2) = n(n − 1)2.
n(n − 1)2 = 36 ⇔ n(n − 1) = 72 = 9·8, deci n = 9.
Răspuns
9 elemente
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(−1,1), B(3,−3) și C(3,0). Determinați ecuația medianei din C a triunghiului ABC.

Mediana din C trece prin mijlocul M al segmentului AB: M(−1 + 32, 1 − 32) = M(1, −1).
Panta dreptei CM este 0 − (−1)3 − 1 = 12.
Ecuația: y + 1 = (12)(x − 1), adică y = (12)x − 32.
Răspuns
y = (12)x − 32
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Determinați x ∈ (0, π2) pentru care cos x·sin(π − x) − sin x·cos(π + x) = 1.

sin(π − x) = sin x și cos(π + x) = −cos x.
Ecuația devine cos x·sin x + sin x·cos x = 1, adică sin(2x) = 1.
Pentru x ∈ (0, π2), 2x ∈ (0, π), deci 2x = π2 și x = π4.
Răspuns
x = π4
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 2a132a−11a−3a1 și sistemul de ecuații 2x + ay + z = 13x + (2a−1)y + z = 1(a−3)x + ay + z = 2a−1, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = −5.

A(0) = 2013−11−301.
Dezvoltând după coloana a doua: det(A(0)) = (−1)·21−31 = (−1)·(2 + 3) = −5.
Răspuns
det(A(0)) = −5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(A(a)) = 0.

Dezvoltând după prima linie: det(A(a)) = 2((2a − 1) − a) − a(3 − (a − 3)) + 1·(3a − (2a − 1)(a − 3)).
= 2a − 2 − 6a + a² + 3a − 2a² + 7a − 3 = −a² + 6a − 5.
−a² + 6a − 5 = 0 ⇔ a² − 6a + 5 = 0 ⇔ a = 1 sau a = 5.
Răspuns
a = 1 sau a = 5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru a = 1, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului pentru care x₀² = y₀z₀.

Pentru a = 1, sistemul este 2x + y + z = 13x + y + z = 1−2x + y + z = 1.
Scăzând primele două ecuații obținem x₀ = 0, deci y₀ + z₀ = 1 (toate trei ecuațiile devin y + z = 1).
x₀² = y₀z₀ ⇒ y₀z₀ = 0, deci y₀ = 0, z₀ = 1 sau y₀ = 1, z₀ = 0.
Răspuns
(0, 1, 0) și (0, 0, 1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = 5xy − 5(x + y) + 6.

a) (5p) Demonstrați că x ∗ y = 5(x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice numere reale x și y.

x ∗ y = 5xy − 5x − 5y + 5 + 1 = 5x(y − 1) − 5(y − 1) + 1.
= 5(x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice numere reale x și y.
Răspuns
x ∗ y = 5(x − 1)(y − 1) + 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați valorile reale ale lui x pentru care x ∗ x ∗ x < 26.

x ∗ x = 5(x − 1)² + 1, iar x ∗ x ∗ x = 5·5(x − 1)²·(x − 1) + 1 = 25(x − 1)³ + 1.
25(x − 1)³ + 1 < 26 ⇔ (x − 1)³ < 1 ⇔ x − 1 < 1 ⇔ x < 2.
Răspuns
x ∈ (−∞, 2)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural nenul n pentru care 1n² ∗ 1(n + 1)² ∗ 1(n + 2)² = −19.

Ca la b), x ∗ y ∗ z = 25(x − 1)(y − 1)(z − 1) + 1, deci ecuația devine 25(1n² − 1)(1(n + 1)² − 1)(1(n + 2)² − 1) = −20.
1k² − 1 = (1 − k)(1 + k)k², deci produsul este (1 − n)(n + 1)n² · −n(n + 2)(n + 1)² · −(n + 1)(n + 3)(n + 2)² = (1 − n)(n + 3)n(n + 2).
(1 − n)(n + 3)n(n + 2) = −45 ⇔ 5(−n² − 2n + 3) = −4n² − 8n ⇔ n² + 2n − 15 = 0 ⇔ n = 3 sau n = −5.
Cum n este natural nenul, n = 3.
Răspuns
n = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = ln x − 2(x − 1)x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x − 2x², x ∈ (0,+∞).

2(x − 1)x = 2 − 2x, cu derivata 2x².
f'(x) = 1x − 2x² = x − 2x².
Răspuns
f'(x) = x − 2x²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcției f este perpendiculară pe dreapta de ecuație y = x.

Dreapta y = x are panta 1, deci tangenta perpendiculară are panta −1: f'(a) = −1.
a − 2a² = −1 ⇔ a² + a − 2 = 0 ⇔ a = −2 sau a = 1.
a = −2 nu aparține domeniului (0, +∞), deci a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(π2) < 0.

f'(x) < 0 pentru x ∈ (0, 2), deci f este strict descrescătoare pe (0, 2].
Cum 1 < π2 < 2, avem f(π2) < f(1).
f(1) = ln1 − 0 = 0, deci f(π2) < 0.
Răspuns
f(π2) < f(1) = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 1.