Rezolvare BAC 2020 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I (vară) 2020 (Proba E.c) — iunie 2020 (calendar decalat, pandemie)): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră o progresie aritmetică (aₙ)ₙ≥₁ cu a₁ = 2 și rația r = 3. Calculați a₃.

a₃ = a₁ + 2r = 2 + 2·3 = 8.
Răspuns
a₃ = 8
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 1. Determinați numerele reale x pentru care f(x²) = 9.

f(x²) = 2x² + 1 = 9, deci x² = 4.
x = −2 sau x = 2.
Răspuns
x ∈ {−2, 2}
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3²ˣ⁺² − 3²ˣ = 8.

3²ˣ⁺² = 9·3²ˣ, deci ecuația devine 3²ˣ(9 − 1) = 8, adică 3²ˣ = 1.
2x = 0, deci x = 0.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, acesta să fie divizor al lui 100.

A are 9 elemente, deci 9 cazuri posibile.
Divizorii lui 100 din A sunt 1, 2, 4 și 5: 4 cazuri favorabile.
p = 49.
Răspuns
p = 49
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) Se consideră un punct P în planul paralelogramului ABCD. Arătați că PA + PC = PB + PD (vectori).

Fie O punctul de intersecție a diagonalelor; într-un paralelogram O este mijlocul lui AC și al lui BD.
Pentru mijlocul O al lui AC: vectorul PO = (12)(PA + PC); analog, pentru BD: PO = (12)(PB + PD).
Egalând, PA + PC = 2·PO = PB + PD.
Răspuns
PA + PC = PB + PD = 2·PO
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin(x − π4) + cos(x + π4) = 0, pentru orice număr real x.

sin(x − π4) = sin x·cos(π4) − sin(π4)·cos x = (√22)sin x − (√22)cos x.
cos(x + π4) = cos x·cos(π4) − sin x·sin(π4) = (√22)cos x − (√22)sin x.
Adunând, termenii se reduc și suma este 0, pentru orice x real.
Răspuns
suma este 0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 12+aa1+a3+a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 36.

A(0) = 12013, deci det(A(0)) = 12013 = 36 − 0 = 36.
Răspuns
36
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(A(a) − (12 + a)I₂) = 0, unde I₂ = 1001.

A(a) − (12 + a)I₂ = 0a1+a−9, cu determinantul 0·(−9) − a(1 + a) = −a(1 + a).
−a(1 + a) = 0 ⇔ a = 0 sau a = −1.
Răspuns
a ∈ {−1, 0}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Se consideră matricea X ∈ M₂(R) cu proprietatea X·X = A(0). Arătați că cel puțin un element al matricei X este număr irațional.

Fie X = abcd. Atunci X·X = a²+bcb(a+d)c(a+d)d²+bc = 12013.
Din c(a + d) = 1 rezultă a + d ≠ 0, iar din b(a + d) = 0 rezultă b = 0.
Atunci d² + bc = d² = 3, deci d = ±√3, număr irațional.
Răspuns
d = ±√3 este irațional
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = x + ∛y − 2.

a) (5p) Arătați că 1∘1 = 0.

1∘1 = 1 + ∛1 − 2 = 1 + 1 − 2 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real a pentru care x∘a = x, pentru orice număr real x.

x∘a = x + ∛a − 2 = x, pentru orice x real ⇔ ∛a − 2 = 0.
∛a = 2, deci a = 8.
Răspuns
a = 8
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x∘x⁶ = 4.

3√x⁶ = x², deci x∘x⁶ = x + x² − 2.
x + x² − 2 = 4 ⇔ x² + x − 6 = 0 ⇔ (x + 3)(x − 2) = 0.
x = −3 sau x = 2.
Răspuns
x ∈ {−3, 2}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = x² − 2√x² − 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2x(1 − 1√(x² − 1)), x ∈ (1,+∞).

(√x² − 1)' = 2x2√(x² − 1) = x√(x² − 1).
f'(x) = 2x − 2x√(x² − 1) = 2x(1 − 1√(x² − 1)).
Răspuns
f'(x) = 2x(1 − 1√(x² − 1))
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Calculați limx→+∞ x² − f(x)x.

x² − f(x) = 2√x² − 1.
Pentru x > 1: 2√(x² − 1)x = 2√1 − 1x².
limx→+∞ 2√1 − 1x² = 2·1 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că axa Ox este tangentă la graficul funcției f.

f(x) = 0 ⇔ x² = 2√x² − 1 ⇔ x⁴ = 4(x² − 1) ⇔ (x² − 2)² = 0 ⇔ x² = 2; cum x > 1, x = √2.
Deci graficul intersectează Ox în A(√2, 0).
f'(√2) = 2√2(1 − 1√1) = 0, deci tangenta în A are panta 0 și ecuația y − 0 = 0·(x − √2), adică y = 0: axa Ox este tangentă la grafic.
Răspuns
tangenta în A(√2, 0) este y = 0 (axa Ox)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xx² + 2x + 2.