Rezolvare BAC 2017 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea I (vară) 2017 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați al treilea termen al progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, știind că a₁ = 4 și a₂ = 7.

Rația este r = a₂ − a₁ = 7 − 4 = 3.
a₃ = a₂ + r = 7 + 3 = 10.
Răspuns
a₃ = 10
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră x₁ și x₂ soluțiile ecuației x² − 4x + 1 = 0. Arătați că 4x₁x₂ − (x₁ + x₂) = 0.

Din relațiile lui Viète: x₁ + x₂ = 4 și x₁x₂ = 1.
4x₁x₂ − (x₁ + x₂) = 4·1 − 4 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2²ˣ⁺¹ = 18.

18 = 2⁻³, deci ecuația devine 2²ˣ⁺¹ = 2⁻³.
Exponenții sunt egali: 2x + 1 = −3, de unde x = −2.
Răspuns
x = −2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 15.

Numerele de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Multiplii de 15 de două cifre sunt 15, 30, 45, 60, 75 și 90: 6 cazuri favorabile.
p = 690 = 115.
Răspuns
p = 115
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,1), B(1,1) și C(3,a), unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctele A, B și C sunt coliniare.

Panta dreptei AB: m_AB = 1 − 11 − 0 = 0.
Panta dreptei AC: m_AC = a − 13 − 0 = a − 13.
A, B, C coliniare ⇔ m_AB = m_AC ⇔ a − 13 = 0 ⇔ a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC cu AB = 4√3, AC = 4 și sin C = √32. Calculați sin B.

Teorema sinusurilor: ABsin(C) = ACsin(B).
sin B = AC·sin(C)AB = 4·√3/24√3 = 2√34√3 = 12.
Răspuns
sin B = 12
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = 0xx0, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = −1.

A(1) = 0110, deci det(A(1)) = 0110 = 0·0 − 1·1 = −1.
Răspuns
det(A(1)) = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(x)A(y) = xyI₂, pentru orice numere reale x și y, unde I₂ = 1001.

A(x)A(y) = 0xx0·0yy0 = xy00xy.
= xy·1001 = xyI₂, pentru orice x, y reale.
Răspuns
A(x)A(y) = xyI₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că A(3ᵃ)A(3ᵃ⁺¹)A(3ᵃ⁺²) = A(27).

Din b): A(3ᵃ)A(3ᵃ⁺¹) = 3ᵃ·3ᵃ⁺¹·I₂ = 3²ᵃ⁺¹·I₂.
Înmulțind cu A(3ᵃ⁺²): 3²ᵃ⁺¹·A(3ᵃ⁺²) = A(3²ᵃ⁺¹·3ᵃ⁺²) = A(3³ᵃ⁺³), fiindcă A(x) = x·A(1).
A(3³ᵃ⁺³) = A(27) ⇒ 3³ᵃ⁺³ = 3³ ⇒ 3a + 3 = 3, deci a = 0.
Răspuns
a = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ + mX² + 2X − 4, unde m este număr real.

a) (5p) Pentru m = 1, arătați că f(1) = 0.

Pentru m = 1: f = X³ + X² + 2X − 4.
f(1) = 1 + 1 + 2 − 4 = 0.
Răspuns
f(1) = 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că, dacă polinomul f se divide cu X + 2, atunci restul împărțirii lui f la X + 3 este egal cu −1.

f se divide cu X + 2 ⇔ f(−2) = 0: −8 + 4m − 4 − 4 = 0, deci 4m = 16 și m = 4.
f = X³ + 4X² + 2X − 4; restul împărțirii la X + 3 este f(−3).
f(−3) = −27 + 36 − 6 − 4 = −1.
Răspuns
restul este −1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real m, știind că 1x₁ + 1x₂ + 1x₃ + x₁ + x₂ + x₃ = 12, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = −m, x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = 2, x₁x₂x₃ = 4.
1x₁ + 1x₂ + 1x₃ = x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁x₁x₂x₃ = 24 = 12.
Egalitatea devine 12 − m = 12, deci m = 0.
Răspuns
m = 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + 2017eˣ.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = −(x + 2016)eˣ, x ∈ R.

Regula câtului: f'(x) = (x + 2017)'·eˣ − (x + 2017)(eˣ)'(eˣ)² = eˣ(1 − x − 2017)(eˣ)².
Simplificând cu eˣ: f'(x) = −x − 2016eˣ = −(x + 2016)eˣ, x ∈ R.
Răspuns
f'(x) = −(x + 2016)eˣ
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = 20171 = 2017 și f'(0) = −20161 = −2016.
Tangenta: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y − 2017 = −2016x.
y = −2016x + 2017.
Răspuns
y = −2016x + 2017
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că funcția f este convexă pe [−2015, +∞).

f'(x) = −(x + 2016)e⁻ˣ, deci f''(x) = −e⁻ˣ + (x + 2016)e⁻ˣ = x + 2015eˣ.
Pentru x ≥ −2015 avem x + 2015 ≥ 0 și eˣ > 0, deci f''(x) ≥ 0.
Așadar f este convexă pe [−2015, +∞).
Răspuns
f''(x) = x + 2015eˣ ≥ 0 pe [−2015, +∞)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1x² + 1.