Acasă / Subiecte rezolvate / 2017 / Rezolvare M2 științe ale naturii

Rezolvare BAC 2017 Matematică M2 științe ale naturii, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din modelul 2017 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Rezolvă-l cronometrat, cu notă Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex z = 1 − i. Arătați că z² + 2i = 0.
  • z² = (1 − i)² = 1 − 2i + i² = 1 − 2i − 1 = −2i.
  • z² + 2i = −2i + 2i = 0.

  • Răspuns

    z² + 2i = 0

  • Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Calculați (g∘f)(0), unde f:R→R, f(x) = x + 2017 și g:R→R, g(x) = x − 2017.
  • f(0) = 2017.
  • (g∘f)(0) = g(f(0)) = g(2017) = 2017 − 2017 = 0.

  • Răspuns

    0

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x² − 3x = 3x − 4.
  • Puterile cu aceeași bază sunt egale doar dacă exponenții sunt egali: x² − 3x = x − 4.
  • x² − 4x + 4 = 0, adică (x − 2)² = 0, deci x = 2.

  • Răspuns

    x = 2

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {1, 2, 3, …, 100}, acesta să fie pătrat perfect.
  • Mulțimea M are 100 de elemente: 100 de cazuri posibile.
  • Pătratele perfecte din M sunt 1², 2², …, 10²: 10 cazuri favorabile.
  • p = 10100 = 110.

  • Răspuns

    p = 110

  • Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctul A(0,1). Determinați ecuația dreptei d, care trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta de ecuație y = x − 10.
−1−11xyOA(0, 1)
  • Dreapta y = x − 10 are panta 1; o perpendiculară pe ea are panta m cu m·1 = −1, deci m = −1.
  • Prin A(0,1): y − 1 = −1·(x − 0), adică y = −x + 1.

  • Răspuns

    y = −x + 1

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Determinați aria triunghiului ABC, știind că AB = 6, AC = 4 și A = π6.
π/664ABC
  • Aria = AB·AC·sin(A)2.
  • sin(π6) = 12, deci aria = 6·4·(1/2)2 = 122 = 6.

  • Răspuns

    6

  • Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(m) = m−1−12m−2, unde m este număr real.

a) (5p) Calculați det(A(0)).
  • A(0) = −1−12−2, deci det(A(0)) = −1−12−2 = 2 − (−2) = 4.

  • Răspuns

    det(A(0)) = 4

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(1 + m) + A(1 − m) = 2A(1), pentru orice număr real m.
  • A(1 + m) + A(1 − m) = m−12m−1 + −m−12−m−1 = 0−24−2.
  • A(1) = 0−12−1, deci 2A(1) = 0−24−2, aceeași matrice.

  • Răspuns

    A(1 + m) + A(1 − m) = 2A(1)

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că matricea A(m) este inversabilă, pentru orice număr real m.
  • det(A(m)) = m−1−12m−2 = (m − 1)(m − 2) + 2 = m² − 3m + 4.
  • Discriminantul lui m² − 3m + 4 este 9 − 16 = −7 < 0, deci m² − 3m + 4 > 0 pentru orice m real.
  • det(A(m)) ≠ 0, deci A(m) este inversabilă pentru orice număr real m.

  • Răspuns

    det(A(m)) = m² − 3m + 4 ≠ 0

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = −3xy + 9x + 9y − 24.

a) (5p) Arătați că x∗y = −3(x − 3)(y − 3) + 3, pentru orice numere reale x și y.
  • Scriem −24 = −27 + 3: x∗y = −3xy + 9x + 9y − 27 + 3.
  • −3xy + 9x = −3x(y − 3) și 9y − 27 = 9(y − 3), deci x∗y = (y − 3)(−3x + 9) + 3 = −3(x − 3)(y − 3) + 3.

  • Răspuns

    x∗y = −3(x − 3)(y − 3) + 3

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că legea de compoziție „∗” este asociativă.
  • (x∗y)∗z = −3(x∗y − 3)(z − 3) + 3 = −3·(−3(x − 3)(y − 3))·(z − 3) + 3 = 9(x − 3)(y − 3)(z − 3) + 3.
  • x∗(y∗z) = −3(x − 3)(y∗z − 3) + 3 = −3(x − 3)·(−3(y − 3)(z − 3)) + 3 = 9(x − 3)(y − 3)(z − 3) + 3.
  • Cele două rezultate coincid pentru orice x, y, z reale, deci legea „∗” este asociativă.

  • Răspuns

    (x∗y)∗z = x∗(y∗z) = 9(x − 3)(y − 3)(z − 3) + 3

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x, pentru care (x∗x)∗x = 12.
  • Din b), (x∗x)∗x = 9(x − 3)³ + 3.
  • 9(x − 3)³ + 3 = 12 ⇔ (x − 3)³ = 1 ⇔ x − 3 = 1, deci x = 4.

  • Răspuns

    x = 4

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x³ − 3ln x.

Vezi graficul funcției f
12345650100150xy

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3(x − 1)(x² + x + 1)x, x ∈ (0,+∞).
  • f'(x) = 3x² − 3x = 3x³ − 3x.
  • 3x³ − 3 = 3(x³ − 1) = 3(x − 1)(x² + x + 1), deci f'(x) = 3(x − 1)(x² + x + 1)x.

  • Răspuns

    f'(x) = 3(x − 1)(x² + x + 1)x

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției f.
  • Când x → 0, x > 0: x³ → 0 și ln x → −∞, deci −3ln x → +∞ și limx→0, x > 0 f(x) = +∞.
  • Dreapta x = 0 este asimptotă verticală la graficul lui f.

  • Răspuns

    x = 0

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(x) ≥ 1, pentru orice x ∈ (0,+∞).
  • x² + x + 1 > 0 și x > 0, deci semnul lui f' e semnul lui x − 1; f'(x) = 0 ⇔ x = 1.
  • Pe (0, 1], f'(x) ≤ 0, deci f e descrescătoare; pe [1, +∞), f'(x) ≥ 0, deci f e crescătoare.
  • x = 1 e punct de minim global: f(x) ≥ f(1) = 1 − 3ln1 = 1, pentru orice x ∈ (0,+∞).

  • Răspuns

    f(x) ≥ f(1) = 1

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x + 3x² + 3x + 3.

Vezi graficul funcției f
−4−3−2−11234−2−112xy

a) (5p) Calculați ∫[1,2] (x² + 3x + 3)f(x) dx.
  • (x² + 3x + 3)f(x) = 2x + 3.
  • ∫[1,2] (2x + 3) dx = [x² + 3x] de la 1 la 2 = 10 − 4 = 6.

  • Răspuns

    6

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 3 are aria egală cu ln7.
  • Pe [0, 3], 2x + 3 > 0 și x² + 3x + 3 > 0, deci f(x) > 0 și aria este ∫[0,3] f(x) dx.
  • (x² + 3x + 3)' = 2x + 3, deci o primitivă a lui f este ln(x² + 3x + 3).
  • Aria = ln21 − ln3 = ln(213) = ln7.

  • Răspuns

    ln7

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ∫[−1,0] f'(x)f(x) dx = 0.
  • f'(x)f(x) este derivata lui f²(x)2, deci integrala este [f²(x)2] de la −1 la 0 = f²(0) − f²(−1)2.
  • f(0) = 33 = 1 și f(−1) = −2 + 31 − 3 + 3 = 11 = 1.
  • Integrala este 1 − 12 = 0.

  • Răspuns

    0

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M2 științe ale naturii

Toate subiectele oficiale, din 2013 încoace →