Rezolvare BAC 2023 Matematică M2 științe ale naturii, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din simularea 2023 (Simularea națională a clasei a XII-a — 28.03.2023): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 2(1 + i) − i(2 − i) = 1, unde i² = −1.

2(1 + i) − i(2 − i) = 2 + 2i − 2i + i² = 2 + i².
2 + (−1) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x + 10. Determinați numărul real a pentru care punctul A(2a, a) aparține graficului funcției f.

A aparține graficului ⇔ f(2a) = a ⇔ 6a + 10 = a.
5a = −10, deci a = −2.
Răspuns
a = −2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √2x² + 2 = 2x.

Membrul drept trebuie să fie nenegativ: x ≥ 0. Ridicând la pătrat: 2x² + 2 = 4x², deci x² = 1.
x = −1 nu convine (x ≥ 0), x = 1 convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre, se pot forma cu elementele mulțimii A = {0, 1, 2, 3, 4}.

Cifra unităților e impară: 1 sau 3, adică 2 moduri.
Cifra zecilor: oricare din cele 5 elemente; cifra sutelor: oricare în afară de 0, adică 4 moduri.
În total 2·5·4 = 40 de numere.
Răspuns
40
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) Determinați numărul real a pentru care vectorii u = ai + (a − 1)j și v = i + 2j sunt coliniari.

Coliniari ⇔ coordonatele sunt proporționale: a1 = a − 12.
2a = a − 1, deci a = −1.
Răspuns
a = −1
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu măsura unghiului B egală cu π6 și BC = 24. Bisectoarea unghiului C al triunghiului ABC intersectează latura AB în punctul D. Determinați lungimea segmentului CD.

AC e opusă unghiului de 30°: AC = BC2 = 12. Unghiul C are π3, deci bisectoarea dă unghiul ACD = π6.
În triunghiul ACD, dreptunghic în A: cos(π6) = ACCD, deci CD = 12√3/2 = 24√3 = 8√3.
Răspuns
CD = 8√3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = x+1−110x01−1x+1, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 3.

A(1) = 2−110101−12.
det(A(1)) = 4 + 0 + 0 − 1 − 0 − 0 = 3.
Răspuns
det(A(1)) = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care A(0)·A(x) = A(0).

A(0) = 1−110001−11, deci A(0)·A(x) = x+2−x−2x+2000x+2−x−2x+2.
Egalitatea cu A(0) cere x + 2 = 1, deci x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale a și b pentru care (A(1))⁻¹ = aA(1) + bI₃, unde (A(1))⁻¹ este inversa matricei A(1).

Înmulțind cu A(1): egalitatea e echivalentă cu aA(1)·A(1) + bA(1) = I₃.
A(1)·A(1) = 5−440104−45, deci aA(1)·A(1) + bA(1) = 5a+2b−4a−b4a+b0a+b04a+b−4a−b5a+2b.
Egalitatea cu I₃ cere 4a + b = 0 și a + b = 1, deci a = −13 și b = 43 (și 5a + 2b = 1 se verifică).
Răspuns
a = −13, b = 43
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy + x + y − 1 + 2ˣʸ.

a) (5p) Arătați că 1 ∗ 2 = 8.

1 ∗ 2 = 1·2 + 1 + 2 − 1 + 2² = 4 + 4 = 8.
Răspuns
1 ∗ 2 = 8
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x ∗ 0 = 0 + x + 0 − 1 + 2⁰ = x, pentru orice x real.
0 ∗ x = 0 + 0 + x − 1 + 2⁰ = x, pentru orice x real, deci e = 0 e elementul neutru.
Răspuns
e = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural nenul n pentru care n ∗ (−1n) = 0.

n ∗ (−1n) = −1 + n − 1n − 1 + 2⁻¹ = n − 1n − 32 = 2n² − 3n − 22n.
2n² − 3n − 22n = 0 ⇔ 2n² − 3n − 2 = 0, cu soluțiile n = 2 și n = −12.
Cum n e natural nenul, n = 2.
Răspuns
n = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x + 1 + ln xx.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = −ln xx², x∈(0, +∞).

f'(x) = (2 + 1/x)·x − (2x + 1 + ln x)x² = 2x + 1 − 2x − 1 − ln xx².
f'(x) = −ln xx².
Răspuns
f'(x) = −ln xx²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

f(x) = 2 + 1x + ln xx, iar limx→+∞ 1x = 0 și limx→+∞ ln xx = 0.
limx→+∞ f(x) = 2, deci asimptota orizontală spre +∞ este y = 2.
Răspuns
y = 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ln yy − ln xx < 1x − 1y, pentru orice x, y∈(1, +∞) cu x < y.

Pentru x > 1, ln x > 0, deci f'(x) < 0: f e strict descrescătoare pe (1, +∞).
1 < x < y ⇒ f(x) > f(y), adică 2 + 1x + ln xx > 2 + 1y + ln yy.
Rearanjând: ln yy − ln xx < 1x − 1y.
Răspuns
f(x) > f(y) pentru 1 < x < y
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ + x.