Rezolvare BAC 2023 Matematică M1 mate-info, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din simularea 2023 (Simularea națională a clasei a XII-a — 28.03.2023): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe z₁ = 1 + 2i și z₂ = 1 − i. Arătați că z₁² + 4z₂ = 1.

z₁² = (1 + 2i)² = 1 + 4i + 4i² = −3 + 4i.
4z₂ = 4 − 4i, deci z₁² + 4z₂ = −3 + 4i + 4 − 4i = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 3x + 1 și g:R→R, g(x) = x² + x + m, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care graficele funcțiilor f și g au exact un punct comun.

f(x) = g(x) ⇔ x² − 2x + m − 1 = 0.
Un singur punct comun ⇔ Δ = 4 − 4(m − 1) = 8 − 4m = 0, deci m = 2.
Răspuns
m = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg(x² + 9) = 2lg(x√10).

Condiție: x√10 > 0, adică x > 0. Atunci 2lg(x√10) = lg(10x²).
x² + 9 = 10x², deci x² = 1: x = −1 nu convine, x = 1 convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Se consideră mulțimea A, a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să fie divizibil cu 9.

A = {0, 1, …, 99} are 100 de elemente: 100 de cazuri posibile.
Multiplii lui 9 din A: 9·0, 9·1, …, 9·11, adică 12 cazuri favorabile.
p = 12100 = 325.
Răspuns
p = 325
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În triunghiul ABC, punctul M este mijlocul laturii AC, iar punctele D și E aparțin segmentului AB, astfel încât AD = BE. Arătați că MD + ME = CB (vectori).

MD = MA + AD și ME = MC + CB + BE.
MA + MC = 0 (M e mijlocul lui AC), iar AD + BE = 0 (au aceeași lungime, pe aceeași dreaptă, în sensuri opuse).
MD + ME = (MA + MC) + (AD + BE) + CB = CB.
Răspuns
MD + ME = CB
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Determinați x∈[0, π] pentru care sin 2x = 1 + cos 2x.

sin 2x = 2sin x·cos x și 1 + cos 2x = 2cos²x, deci ecuația devine 2cos x(sin x − cos x) = 0.
cos x = 0 dă x = π2; sin x = cos x dă x = π4 (în [0, π]).
Răspuns
x = π4 sau x = π2
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a121a−1221 și sistemul de ecuații ax + y + 2z = −2x + ay − z = 42x + 2y + z = 2, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 1.

A(0) = 01210−1221.
det(A(0)) = 0 − 2 + 4 − 0 − 1 − 0 = 1.
Răspuns
det(A(0)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

det(A(a)) = a(a + 2) − 3 + 2(2 − 2a) = a² − 2a + 1 = (a − 1)².
Soluție unică ⇔ det(A(a)) ≠ 0 ⇔ a ≠ 1, deci a∈R∖{1}.
Răspuns
a∈R∖{1}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru a = 1, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului pentru care x₀, y₀ și z₀ sunt numere întregi și x₀ > y₀ > z₀.

Pentru a = 1, scăzând primele două ecuații: 3z = −6, deci z = −2 și x + y = 2; a treia ecuație e atunci verificată.
Soluțiile: (α, 2 − α, −2), α∈R.
α > 2 − α > −2 ⇔ 1 < α < 4; cu α întreg: α = 2 sau α = 3.
Soluțiile: (2, 0, −2) și (3, −1, −2).
Răspuns
(2, 0, −2) și (3, −1, −2)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = [−1, 1] se definește legea de compoziție x ∗ y = xy1 + √((1 − x²)(1 − y²)).

a) (5p) Arătați că 1 ∗ (12) = 12.

1 ∗ (12) = 1·(1/2)1 + √(0·(3/4)) = 1/21 = 12.
Răspuns
1 ∗ (12) = 12
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că x ∗ (−x) ≥ −x², pentru orice x∈M.

x ∗ (−x) = −x²1 + √((1 − x²)²) = −x²1 + 1 − x² = −x²2 − x² (pe M, 1 − x² ≥ 0).
x ∗ (−x) + x² = x²(1 − x²)2 − x² ≥ 0, fiindcă x² ≥ 0, 1 − x² ≥ 0 și 2 − x² > 0.
Deci x ∗ (−x) ≥ −x².
Răspuns
x ∗ (−x) ≥ −x²
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile (a, b) de numere din mulțimea M pentru care a ∗ b = 1.

a ∗ b = 1 ⇔ ab = 1 + √(1 − a²)(1 − b²) ⇔ √(1 − a²)(1 − b²) = ab − 1, deci ab ≥ 1.
Pe M, ab ≤ 1, deci ab = 1, ceea ce cere a = b = 1 sau a = b = −1.
Verificare: în ambele cazuri radicalul e 0 și ab − 1 = 0. Perechile: (−1, −1) și (1, 1).
Răspuns
(−1, −1) și (1, 1)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − 1 − ln(eˣ + x²).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x(x − 2)eˣ + x², x∈R.

f'(x) = 1 − eˣ + 2xeˣ + x² = eˣ + x² − eˣ − 2xeˣ + x².
f'(x) = x² − 2xeˣ + x² = x(x − 2)eˣ + x².
Răspuns
f'(x) = x(x − 2)eˣ + x²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de coordonate (a, f(a)) este paralelă cu axa Ox.

Tangenta e paralelă cu Ox ⇔ f'(a) = 0 ⇔ a(a − 2)eᵃ + a² = 0.
a = 0 sau a = 2.
Răspuns
a = 0 sau a = 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați imaginea funcției f.

f e crescătoare pe (−∞, 0], descrescătoare pe [0, 2] și crescătoare pe [2, +∞).
limx→−∞ f(x) = −∞; f(0) = −1 − ln1 = −1; limx→+∞ f(x) = limx→+∞ (−1 − ln(1 + x²e⁻ˣ)) = −1, fiindcă ln(eˣ + x²) = x + ln(1 + x²e⁻ˣ).
Pe (−∞, 0], f ia toate valorile din (−∞, −1]; pe [0, +∞) ia valori din [f(2), −1). f e continuă, deci imaginea este (−∞, −1].
Răspuns
Im f = (−∞, −1]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−3, +∞)→R, f(x) = x² + 1√(x + 3).