Acasă / Subiecte rezolvate / 2026 / Rezolvare M1 mate-info

Rezolvare BAC 2026 Matematică M1 mate-info, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din simularea 2026 (Simularea națională a clasei a XII-a — 24.03.2026): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Rezolvă-l cronometrat, cu notă Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex z = 2 + i. Arătați că z + z̄ + z·z̄ = 9, unde z̄ este conjugatul numărului complex z.
  • z̄ = 2 − i, deci z + z̄ = 4.
  • z·z̄ = (2 + i)(2 − i) = 4 − i² = 5.
  • z + z̄ + z·z̄ = 4 + 5 = 9.

  • Răspuns

    9

  • Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 2x − 1 și g:R→R, g(x) = x² − 4x + m, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care graficele funcțiilor f și g au exact un punct comun.
  • Punctele comune: f(x) = g(x) ⇔ x² − 6x + m + 1 = 0.
  • Un singur punct comun ⇔ ecuația are soluție unică ⇔ Δ = 36 − 4(m + 1) = 32 − 4m = 0.
  • m = 8.

  • Răspuns

    m = 8

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (1 + logx 2)·log₂x = 5.
  • Condiții: x > 0, x ≠ 1. Cum logx 2·log₂x = 1, ecuația devine log₂x + 1 = 5.
  • log₂x = 4, deci x = 16, care convine.

  • Răspuns

    x = 16

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Se consideră A, mulțimea numerelor naturale de două cifre, formate cu cifre nenule. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A, acesta să aibă produsul cifrelor divizibil cu 5.
  • Fiecare cifră poate fi 1, 2, …, 9: A are 9·9 = 81 de elemente.
  • Produsul e divizibil cu 5 dacă măcar o cifră e 5: 9 numere cu zecile 5, 9 cu unitățile 5, iar 55 e numărat de două ori, deci 9 + 9 − 1 = 17.
  • p = 1781.

  • Răspuns

    p = 1781

  • Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 5) și B(4, 2). Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul A și este perpendiculară pe dreapta OB.
−11234−112345xyOA(0, 5)B(4, 2)
  • Panta lui OB: 24 = 12, deci panta dreptei căutate este −2.
  • Prin A(0, 5): y − 5 = −2x, adică y = −2x + 5.

  • Răspuns

    y = −2x + 5

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 9 și AC = 12. Punctul M este mijlocul segmentului BC. Arătați că distanța de la punctul C la dreapta AM este egală cu 7,2.
912ABC
  • BC = √81 + 144 = 15, iar mediana din unghiul drept e jumătate din ipotenuză: AM = CM = 152.
  • În triunghiul AMC: aria = AM·d(C, AM)2 = CM·d(A, CM)2, iar AM = CM, deci d(C, AM) = d(A, BC) = AD, înălțimea din A.
  • AD = AB·ACBC = 9·1215 = 7,2.

  • Răspuns

    d(C, AM) = 7,2

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a111−1a321 și sistemul de ecuații liniare ax + y + z = 2ax − y + az = −43x + 2y + z = 8, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 4.
  • A(1) = 1111−11321.
  • det(A(1)) = −1 + 2 + 3 + 3 − 2 − 1 = 4.

  • Răspuns

    det(A(1)) = 4

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care matricea A(a) este inversabilă.
  • det(A(a)) = −a + 3a + 2 + 3 − 2a² − 1 = −2a² + 2a + 4 = −2(a − 2)(a + 1).
  • det(A(a)) = 0 ⇔ a = −1 sau a = 2, deci A(a) e inversabilă pentru a∈R∖{−1, 2}.

  • Răspuns

    a∈R∖{−1, 2}

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Considerăm (x₁, y₁, z₁) soluția sistemului de ecuații liniare pentru a = 1. Pentru a = 2, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului de ecuații liniare pentru care x₀y₀ = y₁.
  • Pentru a = 1: scăzând primele două ecuații (x + y + z = 2, x − y + z = −4), 2y = 6, deci y₁ = 3.
  • Pentru a = 2 sistemul e compatibil nedeterminat, cu soluțiile (α, 4 − α, −α), α∈R (se verifică în toate trei ecuațiile).
  • x₀y₀ = 3 ⇔ α(4 − α) = 3 ⇔ α² − 4α + 3 = 0, deci α = 1 sau α = 3.
  • Soluțiile: (1, 3, −1) și (3, 1, −3).

  • Răspuns

    (1, 3, −1) și (3, 1, −3)

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = √(x² + 2)(y² + 2) + m, unde m∈[−4, +∞).

a) (5p) Pentru m = 3, arătați că 0 ∗ 1 = 3.
  • 0 ∗ 1 = √(0 + 2)(1 + 2) + 3 = √9 = 3.

  • Răspuns

    0 ∗ 1 = 3

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Pentru m = 7, determinați numerele reale x pentru care x ∗ (2x) = 5.
  • x ∗ (2x) = √(x² + 2)(4x² + 2) + 7.
  • Egalitatea cu 5: (x² + 2)(4x² + 2) + 7 = 25 ⇔ 4x⁴ + 10x² − 14 = 0 ⇔ 2x⁴ + 5x² − 7 = 0.
  • x² = 1 sau x² = −72 (imposibil pentru x real), deci x = −1 sau x = 1.

  • Răspuns

    x = −1 sau x = 1

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați m∈[−4, +∞) pentru care legea de compoziție „∗” este asociativă.
  • (x ∗ y)² + 2 = (x² + 2)(y² + 2) + m + 2, deci (x ∗ y) ∗ z = √((x² + 2)(y² + 2) + m + 2)(z² + 2) + m.
  • La fel, x ∗ (y ∗ z) = √(x² + 2)((y² + 2)(z² + 2) + m + 2) + m.
  • Egalitatea, pentru orice x, y, z, se reduce la (m + 2)(z² + 2) = (x² + 2)(m + 2), adică (m + 2)(z² − x²) = 0 pentru orice x și z.
  • Deci m + 2 = 0, adică m = −2, care convine.

  • Răspuns

    m = −2

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(1, +∞)→R, f(x) = eˣ⁻²√(x − 1).

Vezi graficul funcției f
123456710203040xy

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ⁻²(2x − 3)2(x − 1)√(x − 1), x∈(1, +∞).
  • f'(x) = eˣ⁻²√(x − 1) − eˣ⁻²·1/(2√(x − 1))x − 1.
  • Aducând la numitor comun 2√x − 1: numărătorul devine eˣ⁻²(2(x − 1) − 1) = eˣ⁻²(2x − 3).
  • f'(x) = eˣ⁻²(2x − 3)2(x − 1)√(x − 1).

  • Răspuns

    f'(x) = eˣ⁻²(2x − 3)2(x − 1)√(x − 1)

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→2 (f(x))^(1/(x − 2)) = √e.
  • f(2) = 1, deci limita e de forma „1 la puterea ∞”: (f(x))^(1/(x − 2)) = [(1 + (f(x) − 1))^(1/(f(x) − 1))]^((f(x) − 1)/(x − 2)).
  • Baza tinde la e, iar exponentul f(x) − 1x − 2 = f(x) − f(2)x − 2 tinde la f'(2) = e⁰·12·1·1 = 12.
  • Limita este e1/2 = √e.

  • Răspuns

    √e

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care ecuația f(x) = mx are exact două soluții.
  • Pe (1, +∞), ecuația e echivalentă cu g(x) = m, unde g(x) = f(x)x.
  • g'(x) = xf'(x) − f(x)x² = eˣ⁻²(2x² − 5x + 2)2x²(x − 1)√(x − 1), iar 2x² − 5x + 2 = (2x − 1)(x − 2).
  • Pe (1, +∞), 2x − 1 > 0: g e strict descrescătoare pe (1, 2) și strict crescătoare pe (2, +∞), cu minimul g(2) = 12.
  • limx→1 g(x) = +∞ și limx→+∞ g(x) = +∞; g e continuă, deci ecuația g(x) = m are exact două soluții ⇔ m∈(12, +∞).

  • Răspuns

    m∈(12, +∞)

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = (4x + 6x²)·ln x.

Vezi graficul funcției f
123456−20−1010203040xy

a) (5p) Arătați că ∫[2,3] f(x)ln x dx = 11.
  • f(x)ln x = 4x + 6x² (pe [2, 3], ln x ≠ 0).
  • ∫[2,3] (4x + 6x²) dx = [2x² − 6x] de la 2 la 3 = (18 − 2) − (8 − 3) = 11.

  • Răspuns

    11

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că ∫[1,e] x(f(x) − 4x·ln x) dx = 3.
  • f(x) − 4x·ln x = (6x²)·ln x, deci x(f(x) − 4x·ln x) = 6ln xx.
  • ∫[1,e] 6ln xx dx = [3ln²x] de la 1 la e = 3 − 0 = 3, fiindcă (ln²x)' = 2ln xx.

  • Răspuns

    3

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați primitiva F:(0, +∞)→R a funcției f, pentru care axa Ox este tangentă la graficul funcției F.
  • Ox e tangentă la graficul lui F într-un punct A(a, F(a)) ⇔ F(a) = 0 și F'(a) = 0.
  • F'(a) = f(a) = (4a + 6a²)·ln a, iar 4a + 6a² > 0, deci f(a) = 0 ⇔ a = 1. Așadar F(1) = 0, adică F(x) = ∫[1,x] f(t) dt.
  • Prin părți, cu (2t² − 6t)' = 4t + 6t²: ∫(4t + 6t²)ln t dt = (2t² − 6t)ln t − ∫(2t − 6t²) dt = (2t² − 6t)ln t − t² − 6t.
  • Între 1 și x: F(x) = (2x² − 6x)ln x − x² − 6x + 7, x∈(0, +∞).

  • Răspuns

    F(x) = (2x² − 6x)ln x − x² − 6x + 7

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M1 mate-info

Toate subiectele oficiale, din 2013 încoace →