Rezolvare BAC 2019 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea a II-a (toamnă) 2019 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că suma elementelor mulțimii A = {n ∈ N | n − 1 ≤ 4} este egală cu 15.

n − 1 ≤ 4 ⇔ n ≤ 5, iar n e natural, deci A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Suma elementelor: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
Răspuns
15
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 2x + m, unde m este număr real. Determinați numărul real m, știind că vârful parabolei asociate funcției f are ordonata egală cu 2.

Δ = 4 − 4m, iar ordonata vârfului este −Δ4a = 4m − 44 = m − 1.
Din m − 1 = 2 obținem m = 3.
Răspuns
m = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x+3 = √9 − x.

Ridicăm la pătrat: x + 3 = 9 − x, deci 2x = 6 și x = 3.
Verificare: √6 = √6, deci x = 3 convine.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați numărul submulțimilor cu cel puțin 8 elemente ale unei mulțimi cu exact 10 elemente.

Submulțimile cu cel puțin 8 elemente au 8, 9 sau 10 elemente: C(10,8) + C(10,9) + C(10,10).
C(10,8) = 45, C(10,9) = 10, C(10,10) = 1, deci în total 45 + 10 + 1 = 56.
Răspuns
56 de submulțimi
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(5,1), B(−1,3) și C(8,10). Determinați lungimea segmentului CD, unde punctul D este mijlocul segmentului AB.

D are coordonatele (5 − 12, 1 + 32) = (2, 2).
CD = √(8 − 2)² + (10 − 2)² = √36 + 64 = √100 = 10.
Răspuns
CD = 10
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că 1 + cosπ + cos2π + cos3π + … + cos2019π = 0.

cos(2kπ) = 1 și cos((2k+1)π) = −1, pentru orice k întreg.
Suma are 2020 de termeni (de la cos0 = 1 la cos2019π), care alternează 1, −1, 1, −1, …
Se grupează în 1010 perechi (1 + (−1)) = 0, deci suma este 0.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(a) = a+1001a100a+1, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 4.

A(1) = 200111002.
det(A(1)) = 200111002 = 4 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 4.
Răspuns
det(A(1)) = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(a)A(b) = abI₃ + (a + b + 1)A(0), pentru orice numere reale a și b.

A(a)A(b) = ab+a+b+100a+b+1aba+b+100ab+a+b+1.
Despărțim: ab000ab000ab + a+b+100a+b+10a+b+100a+b+1.
Cum A(0) = 100101001, suma este abI₃ + (a + b + 1)A(0).
Răspuns
A(a)A(b) = abI₃ + (a + b + 1)A(0)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural n pentru care A(0)A(1)A(2)…A(2019) = n!A(0).

Din b) cu a = 0 (și b = a): A(0)A(a) = 0·I₃ + (a + 1)A(0) = (a + 1)A(0), pentru orice a real.
Aplicăm repetat: A(0)A(1) = 2A(0), apoi 2A(0)A(2) = 2·3A(0), …, deci A(0)A(1)A(2)…A(2019) = 2·3·4·…·2020·A(0).
2·3·…·2020 = 2020!, deci n = 2020.
Răspuns
n = 2020
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ − mX² + 2X + 3 − m, unde m este număr real.

a) (5p) Determinați numărul real m, știind că f(1) = 0.

f(1) = 1 − m + 2 + 3 − m = 6 − 2m.
6 − 2m = 0, deci m = 3.
Răspuns
m = 3
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Pentru m = 3, determinați rădăcinile polinomului f.

Pentru m = 3: f = X³ − 3X² + 2X = X(X² − 3X + 2).
X² − 3X + 2 = (X − 1)(X − 2), deci rădăcinile sunt 0, 1 și 2.
Răspuns
x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real m pentru care x₁³ + x₂³ + x₃³ = (x₁ + x₂ + x₃)³ − 12, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = m, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 2, x₁x₂x₃ = m − 3.
x₁³ + x₂³ + x₃³ = S³ − 3S·(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃) + 3x₁x₂x₃ = m³ − 6m + 3(m − 3) = m³ − 3m − 9.
Din m³ − 3m − 9 = m³ − 12 obținem 3m = 3, deci m = 1.
Răspuns
m = 1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 1 − 2x+1 − ln(xx+1).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x − 1x(x+1)², x ∈ (0,+∞).

ln(xx+1) = ln x − ln(x + 1), deci f'(x) = 2(x+1)² − 1x + 1x+1.
−1x + 1x+1 = −1x(x+1), deci f'(x) = 2(x+1)² − 1x(x+1).
Aducem la același numitor: f'(x) = 2x − (x+1)x(x+1)² = x − 1x(x+1)².
Răspuns
f'(x) = x − 1x(x+1)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

Când x → +∞: 2x+1 → 0 și xx+1 → 1, deci ln(xx+1) → ln1 = 0.
limx→+∞ f(x) = 1 − 0 − 0 = 1, deci dreapta y = 1 este asimptotă orizontală spre +∞.
Răspuns
y = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Se consideră funcțiile g:(0,+∞)→R, g(x) = x − 1x + 1 și h:(0,+∞)→R, h(x) = ln(xx+1). Demonstrați că graficele funcțiilor g și h nu au niciun punct comun.

g(x) = x + 1 − 2x + 1 = 1 − 2x+1, deci g(x) − h(x) = f(x), adică g(x) = h(x) ⇔ f(x) = 0.
Din a): f'(x) ≤ 0 pe (0, 1], deci f e descrescătoare pe (0, 1], și f'(x) ≥ 0 pe [1, +∞), deci f e crescătoare pe [1, +∞). Așadar f(x) ≥ f(1) pentru orice x > 0.
f(1) = 1 − 1 − ln(12) = ln2 > 0, deci f(x) > 0 pentru orice x > 0.
Ecuația g(x) = h(x) nu are soluții în (0, +∞), deci graficele lui g și h nu au niciun punct comun.
Răspuns
graficele nu au puncte comune
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √x² + 4.