Rezolvare BAC 2019 Matematică M3 pedagogic, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea a II-a (toamnă) 2019 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 4√5 − √75 + √108 − √3 + √25 − √80 = 5.

√75 = 5√3, √108 = 6√3, √25 = 5 și √80 = 4√5.
Expresia devine 4√5 − 5√3 + 6√3 − √3 + 5 − 4√5 = (4√5 − 4√5) + (−5√3 + 6√3 − √3) + 5 = 5.
Răspuns
5
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x + a, unde a este număr real. Determinați numărul real a, pentru care f(1) = 8.

f(1) = 1 + a.
1 + a = 8 ⇔ a = 7.
Răspuns
a = 7
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √2x − 1 = x.

Ridicăm la pătrat: 2x − 1 = x², adică x² − 2x + 1 = 0, deci (x − 1)² = 0 și x = 1.
Verificare: √2·1 − 1 = 1, deci x = 1 convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9.

Cifra unităților se poate alege în 9 moduri.
Cifrele fiind distincte, pentru fiecare alegere cifra zecilor se poate alege în 8 moduri, deci se pot forma 9·8 = 72 de numere.
Răspuns
72 de numere
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație y = x − 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a dreptei d cu axa Ox.

Pe axa Ox avem y = 0.
x − 2 = 0, deci x = 2: punctul este (2, 0).
Răspuns
(2, 0)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC cu AB = 6, AC = 8 și BC = 10. Calculați aria triunghiului ABC.

AB² + AC² = 36 + 64 = 100 = BC², deci (reciproca teoremei lui Pitagora) triunghiul e dreptunghic în A.
Aria = AB·AC2 = 6·82 = 24.
Răspuns
24
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = xy + x + y.

1. (5p) Arătați că (−1)∗3 = −1.

(−1)∗3 = (−1)·3 + (−1) + 3 = −3 − 1 + 3 = −1.
Răspuns
−1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că x∗y = (x + 1)(y + 1) − 1, pentru orice numere reale x și y.

x∗y = xy + x + y + 1 − 1 = x(y + 1) + (y + 1) − 1.
= (x + 1)(y + 1) − 1, pentru orice x, y reale.
Răspuns
x∗y = (x + 1)(y + 1) − 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Verificați dacă e = 0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗0 = (x + 1)(0 + 1) − 1 = x + 1 − 1 = x, pentru orice x real.
0∗x = (0 + 1)(x + 1) − 1 = x, pentru orice x real, deci e = 0 este elementul neutru.
Răspuns
da, e = 0 este element neutru
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Verificați dacă −12 este simetricul lui 1 în raport cu legea de compoziție „∗”.

1∗(−12) = (1 + 1)(−12 + 1) − 1 = 2·(12) − 1 = 0.
(−12)∗1 = (−12 + 1)(1 + 1) − 1 = (12)·2 − 1 = 0.
Ambele compuneri dau elementul neutru e = 0, deci −12 este simetricul lui 1.
Răspuns
da, −12 este simetricul lui 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale x, știind că x∗x∗x = x.

x∗x = (x + 1)² − 1, iar x∗x∗x = ((x + 1)² − 1 + 1)(x + 1) − 1 = (x + 1)³ − 1.
(x + 1)³ − 1 = x ⇔ (x + 1)³ = x + 1 ⇔ (x + 1)((x + 1)² − 1) = 0 ⇔ (x + 1)·x·(x + 2) = 0.
x = −2, x = −1 sau x = 0.
Răspuns
x ∈ {−2, −1, 0}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația n∗n = 3.

Numerele naturale de o cifră sunt 0, 1, …, 9: 10 cazuri posibile.
n∗n = (n + 1)² − 1 = 3 ⇔ (n + 1)² = 4, iar n e natural, deci n + 1 = 2 și n = 1: un caz favorabil.
p = 110.
Răspuns
p = 110
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 1−2a2a−3a1+3a, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det(A(0)) = 1.

A(0) = 1001, deci det(A(0)) = 1001 = 1·1 − 0·0 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că A(1) + A(5) = 2A(3).

A(1) + A(5) = −12−34 + −910−1516 = −1012−1820.
2A(3) = 2·−56−910 = −1012−1820, deci egalitatea e adevărată.
Răspuns
A(1) + A(5) = 2A(3)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că A(1)·A(2) = A(5).

A(1)·A(2) = −12−34·−34−67 = 3−12−4+149−24−12+28.
= −910−1516 = A(5).
Răspuns
A(1)·A(2) = A(5)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea A(a) este inversabilă.

det(A(a)) = 1−2a2a−3a1+3a = (1 − 2a)(1 + 3a) − (−3a)·2a = 1 + a − 6a² + 6a² = 1 + a.
A(a) e inversabilă ⇔ det(A(a)) ≠ 0 ⇔ a ≠ −1.
Răspuns
a ∈ R \ {−1}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Demonstrați că A(a)·A(−1) = A(−1)·A(a) = A(−1), pentru orice număr real a.

A(−1) = 3−23−2.
A(a)·A(−1) = 1−2a2a−3a1+3a·3−23−2 = 3−6a+6a−2+4a−4a−9a+3+9a6a−2−6a = 3−23−2 = A(−1).
A(−1)·A(a) = 3−23−2·1−2a2a−3a1+3a = 3−6a+6a6a−2−6a3−6a+6a6a−2−6a = 3−23−2 = A(−1).
Răspuns
A(a)·A(−1) = A(−1)·A(a) = A(−1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele naturale nenule n pentru care det(A(n⁴)) < 32.

Din 4.: det(A(n⁴)) = 1 + n⁴.
1 + n⁴ < 32 ⇔ n⁴ < 31. Cum 1⁴ = 1, 2⁴ = 16 și 3⁴ = 81, numerele naturale nenule care convin sunt n = 1 și n = 2.
Răspuns
n ∈ {1, 2}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri