Rezolvare BAC 2021 Matematică M3 pedagogic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din simularea 2021 (Simularea națională a clasei a XII-a — 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (aₙ), n ≥ 1, știind că a₁ = 12 și a₄ = 5.

a₄ = a₁ + 3r: 5 = 12 + 3r, deci r = 32.
a₁ + a₂ + a₃ = 3a₁ + 3r = 32 + 92 = 6.
Răspuns
6
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = ax + a − 2, unde a este număr real. Determinați numărul real a pentru care f(1) + f(−2) = 0.

f(1) = 2a − 2 și f(−2) = −2a + a − 2 = −a − 2.
2a − 2 − a − 2 = 0, deci a = 4.
Răspuns
a = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 + log₆(2x + 6) = 3.

log₆(2x + 6) = 2, deci 2x + 6 = 6² = 36.
x = 15; pentru x = 15, 2x + 6 = 36 > 0, deci soluția convine.
Răspuns
x = 15
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să poată fi scris sub forma n³, unde n este număr natural.

Numerele naturale de o cifră sunt 0, 1, …, 9: 10 cazuri posibile.
Cuburi perfecte de o cifră: 0 = 0³, 1 = 1³, 8 = 2³: 3 cazuri favorabile.
p = 310.
Răspuns
p = 310
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,2), B(0,6), C(4,2) și punctul D, mijlocul segmentului BC. Determinați ecuația dreptei AD.

D(0 + 42, 6 + 22) = D(2,4).
Panta lui AD: 4 − 22 − 0 = 1, iar A(0,2) e pe dreaptă: y − 2 = x, adică y = x + 2.
Răspuns
AD: y = x + 2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați 2sin30°·cos60° − cos120°.

sin30° = 12, cos60° = 12, cos120° = −12.
2·(12)·(12) − (−12) = 12 + 12 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = (x − 1)(y − 1)2 + 1.

1. (5p) Arătați că 2∗(−5) = −2.

2∗(−5) = (2 − 1)(−5 − 1)2 + 1 = −62 + 1 = −3 + 1 = −2.
Răspuns
−2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Verificați dacă e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗3 = (x − 1)·22 + 1 = x − 1 + 1 = x, pentru orice x real.
3∗x = 2(x − 1)2 + 1 = x, pentru orice x real, deci e = 3 este elementul neutru.
Răspuns
da, e = 3 este element neutru
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numărul real a pentru care a∗5 = 3.

a∗5 = (a − 1)·42 + 1 = 2(a − 1) + 1 = 2a − 1.
2a − 1 = 3, deci a = 2.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați valorile reale ale lui x pentru care x∗(1 − x) ≥ −5.

x∗(1 − x) = (x − 1)(−x)2 + 1 = −x² + x + 22.
−x² + x + 22 ≥ −5 ⇔ −x² + x + 12 ≥ 0 ⇔ x² − x − 12 ≤ 0 ⇔ (x − 4)(x + 3) ≤ 0.
x ∈ [−3, 4].
Răspuns
x ∈ [−3, 4]
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Arătați că există o infinitate de numere naturale n pentru care numărul N = (√n + 1)∗(√n + 1) este natural par.

N = √n·√n2 + 1 = n2 + 1, pentru orice n natural.
Pentru n = 4k + 2, cu k ∈ N: N = 2k + 1 + 1 = 2(k + 1), număr natural par.
Există o infinitate de numere de forma 4k + 2 (2, 6, 10, …), deci afirmația e adevărată.
Răspuns
de exemplu, n = 4k + 2 dă N = 2(k + 1)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați tripletele (m, n, p) de numere naturale, cu m < n < p, pentru care m∗n∗p = 8.

m∗n = (m − 1)(n − 1)2 + 1, deci m∗n∗p = (m − 1)(n − 1)(p − 1)4 + 1.
(m − 1)(n − 1)(p − 1)4 + 1 = 8 ⇔ (m − 1)(n − 1)(p − 1) = 28.
Produsul e pozitiv, iar n − 1 ≥ 0 și p − 1 ≥ 1, deci m ≥ 2 și 1 ≤ m − 1 < n − 1 < p − 1. Scrieri ale lui 28 ca produs de trei factori naturali distincți: 1·2·14 și 1·4·7.
Obținem (m, n, p) = (2, 3, 15) sau (2, 5, 8).
Răspuns
(2, 3, 15) și (2, 5, 8)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 13−11, I₂ = 1001 și B(n) = A·A·…·A (de n ori A), unde n este număr natural nenul.

1. (5p) Arătați că det A = 4.

det A = 13−11 = 1·1 − 3·(−1) = 1 + 3 = 4.
Răspuns
det A = 4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că det(A + xI₂) ≥ 3, pentru orice număr real x.

A + xI₂ = 1+x3−11+x.
det(A + xI₂) = (1 + x)² + 3 ≥ 3, pentru orice x real, fiindcă (1 + x)² ≥ 0.
Răspuns
det(A + xI₂) = (1 + x)² + 3 ≥ 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că există un număr real a, astfel încât B(3) = aI₂.

A·A = −26−2−2.
B(3) = (A·A)·A = −800−8 = −8I₂, deci a = −8.
Răspuns
a = −8
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale m pentru care det(2mA + I₂) + 2m·det(A − I₂) = 0.

2mA + I₂ = 2m+16m−2m2m+1, deci det(2mA + I₂) = (2m + 1)² + 12m² = 16m² + 4m + 1.
A − I₂ = 03−10, cu det(A − I₂) = 3, deci 2m·det(A − I₂) = 6m.
16m² + 10m + 1 = 0: Δ = 100 − 64 = 36, deci m = −10 ± 632, adică m = −18 sau m = −12.
Răspuns
m = −12 sau m = −18
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Se consideră matricea M = xyzt ∈ M₂(R), astfel încât A·M = M·A. Arătați că x + y + 3z − t = 0.

A·M = x+3zy+3t−x+z−y+t și M·A = x−y3x+yz−t3z+t.
Din egalitatea primelor elemente: x + 3z = x − y, deci y = −3z; din cele de pe poziția (1,2): y + 3t = 3x + y, deci t = x.
x + y + 3z − t = x − 3z + 3z − x = 0.
Răspuns
x + y + 3z − t = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n, matricea B(6n) are toate elementele numere naturale.

B(6n) = A·A·…·A (de 6n ori) = B(3)·B(3)·…·B(3) (de 2n ori).
Cum B(3) = −8I₂, obținem B(6n) = (−8)²ⁿI₂ = 64ⁿI₂.
Elementele lui B(6n) sunt 64ⁿ și 0, numere naturale, pentru orice n natural nenul.
Răspuns
B(6n) = 64ⁿI₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri