Rezolvare BAC 2024 Matematică M3 pedagogic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea specială 2024 (Proba E.c) — 22.05.2024): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √3·(2 − √3) − 2√3 + 4 = 1.

√3·(2 − √3) = 2√3 − 3.
2√3 − 3 − 2√3 + 4 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 5x − 4. Determinați numărul real a pentru care f(a) = a.

5a − 4 = a, deci 4a = 4 și a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x² + 4x + 5 = 1.

Ridicând la pătrat: x² + 4x + 5 = 1, adică x² + 4x + 4 = 0, deci (x + 2)² = 0.
x = −2, care convine.
Răspuns
x = −2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, numărul n² să aparțină mulțimii A.

A are 10 elemente: 10 cazuri posibile.
n²∈A pentru n∈{0, 1, 2, 3} (16 nu e în A): 4 cazuri favorabile.
p = 410 = 25.
Răspuns
p = 25
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, 4) și B(7, −4). Arătați că OA = OM, unde punctul M este mijlocul segmentului AB.

M, mijlocul lui AB, este M(5, 0), deci OM = 5.
OA = √3² + 4² = 5, deci OA = OM.
Răspuns
OA = OM = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 8, AC = 3 și punctul M mijlocul segmentului AB. Arătați că perimetrul triunghiului AMC este egal cu 12.

AM = AB2 = 4.
Triunghiul AMC e dreptunghic în A: MC = √AM² + AC² = √16 + 9 = 5.
Perimetrul: AM + AC + MC = 4 + 3 + 5 = 12.
Răspuns
P = 12
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = 2xy − 5(x + y) + 15.

1. (5p) Arătați că 2 ∘ 2 = 3.

2 ∘ 2 = 2·2·2 − 5·4 + 15 = 8 − 20 + 15 = 3.
Răspuns
2 ∘ 2 = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

x ∘ 3 = 6x − 5x − 15 + 15 = x, pentru orice x real.
3 ∘ x = 6x − 15 − 5x + 15 = x, pentru orice x real, deci e = 3 e elementul neutru.
Răspuns
e = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care x ∘ 4 ≤ 1.

x ∘ 4 = 8x − 5x − 20 + 15 = 3x − 5.
3x − 5 ≤ 1 ⇔ x ≤ 2, deci x∈(−∞, 2].
Răspuns
x∈(−∞, 2]
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că x ∘ y = 2(x − 52)(y − 52) + 52, pentru orice numere reale x și y.

2(x − 52)(y − 52) = 2xy − 5x − 5y + 252.
Adunând 52: 2xy − 5x − 5y + 15 = x ∘ y.
Răspuns
x ∘ y = 2(x − 52)(y − 52) + 52
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∘ x = x.

Din 4: x ∘ x = 2(x − 52)² + 52, deci ecuația devine 2(x − 52)² = x − 52.
(x − 52)(2(x − 52) − 1) = 0, deci x = 52 sau x = 3.
Răspuns
x = 52 sau x = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numărul natural nenul n pentru care n ∘ (1n) este număr natural.

n ∘ (1n) = 2 − 5(n + 1n) + 15 = 17 − 5n − 5n.
Pentru ca rezultatul să fie întreg, 5n trebuie să fie întreg: n = 1 sau n = 5.
n = 1 dă 7, natural; n = 5 dă 17 − 25 − 1 = −9, care nu e natural. Deci n = 1.
Răspuns
n = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 1a−10a, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det(A(2)) = 2.

A(2) = 1102.
det(A(2)) = 1·2 − 1·0 = 2.
Răspuns
det(A(2)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că 2A(3) − A(5) = I₂.

2A(3) − A(5) = 2406 − 1405 = 1001 = I₂.
Răspuns
2A(3) − A(5) = I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(A(a + 1)) = 2a².

Matricea e triunghiulară, deci det(A(a)) = a și det(A(a + 1)) = a + 1.
a + 1 = 2a² ⇔ 2a² − a − 1 = 0, deci a = −12 sau a = 1.
Răspuns
a = −12 sau a = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că A(a)·A(b) = A(ab), pentru orice numere reale a și b.

A(a)·A(b) = 1b−1+(a−1)b0ab.
b − 1 + ab − b = ab − 1, deci A(a)·A(b) = 1ab−10ab = A(ab).
Răspuns
A(a)·A(b) = A(ab)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați inversa matricei B = A(2)·A(3).

Din 4: B = A(6).
A(6)·A(16) = A(16)·A(6) = A(1) = I₂, deci inversa lui B este A(16).
B⁻¹ = A(16) = 1−56016.
Răspuns
B⁻¹ = 1−56016
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați perechile (a, b) de numere naturale pentru care det(bA(a)) = 4.

det(bA(a)) = b²·det(A(a)) = ab².
ab² = 4 cu a, b naturale: b = 1 și a = 4, sau b = 2 și a = 1.
Perechile: (1, 2) și (4, 1).
Răspuns
(1, 2) și (4, 1)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri