Rezolvare BAC 2022 Matematică M3 pedagogic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din sesiunea specială 2022 (Proba E.c) — mai 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (√3 + 1)² − (√3 − 1)² = √48.

(√3 + 1)² = 4 + 2√3 și (√3 − 1)² = 4 − 2√3.
Diferența: 4√3 = √16·3 = √48.
Răspuns
√48
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R, f(x) = 2x + 1 și g:R→R, g(x) = −2x + 5.

f(x) = g(x) ⇔ 2x + 1 = −2x + 5, deci x = 1.
f(1) = 3, deci punctul de intersecție este (1, 3).
Răspuns
(1, 3)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3ˣ⁻² = (13)⁻²ˣ.

(13)⁻²ˣ = 3²ˣ, deci x − 2 = 2x.
x = −2.
Răspuns
x = −2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 și 8.

Cifra unităților e impară: 1, 3, 5 sau 7, adică 4 moduri.
Cifra zecilor: oricare din cele 8 cifre, deci 4·8 = 32 de numere.
Răspuns
32
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 2), B(5, 2) și C(6, 6). Determinați distanța de la punctul B la mijlocul segmentului AC.

Mijlocul lui AC este M(3, 4).
BM = √(3 − 5)² + (4 − 2)² = √8 = 2√2.
Răspuns
BM = 2√2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC cu AB = 9, AC = 12 și BC = 15. Arătați că sin B + sin C = 75.

AB² + AC² = 81 + 144 = 225 = BC², deci triunghiul e dreptunghic în A.
sin B = ACBC = 1215 = 45 și sin C = ABBC = 915 = 35.
sin B + sin C = 75.
Răspuns
75
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = −(13)xy + (13)(x + y) + 23.

1. (5p) Arătați că 4 ∗ 2 = 0.

4 ∗ 2 = −83 + 63 + 23 = 0.
Răspuns
4 ∗ 2 = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că x ∗ y = −(13)(x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice numere reale x și y.

−(13)(x − 1)(y − 1) = −(13)xy + (13)x + (13)y − 13.
Adunând 1: −(13)xy + (13)(x + y) + 23 = x ∗ y.
Răspuns
x ∗ y = −(13)(x − 1)(y − 1) + 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Determinați numărul real x pentru care 4 ∗ x = x.

Din 2: 4 ∗ x = −(13)·3·(x − 1) + 1 = −x + 2.
−x + 2 = x, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că e = −2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

(−2) ∗ x = −(13)(−3)(x − 1) + 1 = x − 1 + 1 = x, pentru orice x real.
x ∗ (−2) = −(13)(x − 1)(−3) + 1 = x, pentru orice x real, deci e = −2 e elementul neutru.
Răspuns
e = −2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ x = −2.

x ∗ x = −(13)(x − 1)² + 1 = −2 ⇔ (x − 1)² = 9.
x = −2 sau x = 4.
Răspuns
x = −2 sau x = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Arătați că (1x) ∗ (1x) ≤ 1, pentru orice număr real nenul x.

(1x) ∗ (1x) = −(13)(1x − 1)² + 1.
(1x − 1)² ≥ 0, deci (1x) ∗ (1x) ≤ 1.
Răspuns
(1x) ∗ (1x) ≤ 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A(x, y) = xy12, B = 12−10 și I₂ = 1001, unde x și y sunt numere reale.

1. (5p) Arătați că det B = 2.

det B = 1·0 − 2·(−1) = 2.
Răspuns
det B = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că det(A(2n, 2n + 1)) este număr natural impar, pentru orice număr natural nenul n.

A(2n, 2n + 1) = 2n2n+112, deci det = 4n − (2n + 1) = 2n − 1.
Pentru n natural nenul, 2n − 1 e natural impar.
Răspuns
2n − 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că A(2x, 0) + A(0, 2x) = 2A(x, x), pentru orice număr real x.

A(2x, 0) + A(0, 2x) = 2x012 + 02x12 = 2x2x24.
Aceasta e 2·xx12 = 2A(x, x).
Răspuns
A(2x, 0) + A(0, 2x) = 2A(x, x)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x și y, astfel încât A(x, y)·B = B·A(x, y).

A(x, y)·B = x−y2x−12 și B·A(x, y) = x+2y+4−x−y.
Din −1 = −x: x = 1; din 2 = −y: y = −2 (și celelalte egalități se verifică).
Răspuns
x = 1, y = −2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numărul real strict pozitiv x, știind că suma elementelor matricei A(log₃x, 1) este egală cu 5.

Suma elementelor lui A(log₃x, 1) este log₃x + 1 + 1 + 2 = 4 + log₃x.
4 + log₃x = 5 ⇔ log₃x = 1, deci x = 3, care convine.
Răspuns
x = 3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele reale x și y, știind că A(x, y)·A(x, y) = 2I₂.

A(x, y)·A(x, y) = x²+yxy+2yx+2y+4.
Egalitatea cu 2I₂: x + 2 = 0 și y + 4 = 2, deci x = −2 și y = −2 (și x² + y = 2, xy + 2y = 0 se verifică).
Răspuns
x = −2, y = −2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri