Acasă / Subiecte rezolvate / 2017 / Rezolvare M3 pedagogic

Rezolvare BAC 2017 Matematică M3 pedagogic, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din modelul 2017 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Rezolvă-l cronometrat, cu notă Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că ((13)² + 3) : (289) = 1.
  • (13)² + 3 = 19 + 279 = 289.
  • (289) : (289) = 1.

  • Răspuns

    1

  • Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Arătați că f(1) − f(−1) = 4 pentru orice număr real m, unde f:R→R, f(x) = 2x + m.
  • f(1) = 2 + m și f(−1) = −2 + m.
  • f(1) − f(−1) = 2 + m − (−2 + m) = 4, pentru orice număr real m.

  • Răspuns

    4

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x² + 3 = 24x.
  • Exponenții sunt egali: x² + 3 = 4x, adică x² − 4x + 3 = 0.
  • (x − 1)(x − 3) = 0, deci x = 1 sau x = 3.

  • Răspuns

    x = 1 sau x = 3

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Prețul unui obiect este 1200 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 5%.
  • După prima scumpire: 1200 + (5100)·1200 = 1200 + 60 = 1260 de lei.
  • După a doua scumpire: 1260 + (5100)·1260 = 1260 + 63 = 1323 de lei.

  • Răspuns

    1323 de lei

  • Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,6) și B(2,3). Determinați distanța de la punctul O la punctul C, unde C este simetricul punctului A față de punctul B.
−112−1123456xyOA(2, 6)B(2, 3)C(2, 0)
  • B e mijlocul lui AC: xC = 2·2 − 2 = 2 și yC = 2·3 − 6 = 0, deci C(2, 0).
  • OC = √2² + 0² = 2.

  • Răspuns

    OC = 2

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați aria triunghiului ABC, știind că m(∢B) = 45° și AB = AC = 4.
45°4ABC
  • AB = AC, deci triunghiul e isoscel cu m(∢C) = m(∢B) = 45°, iar m(∢A) = 180° − 90° = 90°.
  • Triunghiul e dreptunghic în A: aria = AB·AC2 = 4·42 = 8.

  • Răspuns

    8

  • Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x + y − 2017.

1. (5p) Arătați că 2000∗17 = 0.
  • 2000∗17 = 2000 + 17 − 2017 = 2017 − 2017 = 0.

  • Răspuns

    0

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că legea de compoziție „∗” este asociativă.
  • (x∗y)∗z = (x + y − 2017) + z − 2017 = x + y + z − 4034.
  • x∗(y∗z) = x + (y + z − 2017) − 2017 = x + y + z − 4034.
  • Rezultatele coincid pentru orice x, y, z reale, deci legea „∗” este asociativă.

  • Răspuns

    (x∗y)∗z = x∗(y∗z) = x + y + z − 4034

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Demonstrați că a∗(a + 2017) = (a + 1009)∗(a + 1008), pentru orice număr real a.
  • a∗(a + 2017) = a + a + 2017 − 2017 = 2a.
  • (a + 1009)∗(a + 1008) = a + 1009 + a + 1008 − 2017 = 2a, deci cele două expresii sunt egale.

  • Răspuns

    ambele sunt egale cu 2a

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numărul real x, știind că 4ˣ∗2ˣ = −2011.
  • 4ˣ∗2ˣ = 4ˣ + 2ˣ − 2017 = −2011 ⇔ 4ˣ + 2ˣ − 6 = 0.
  • Cu t = 2ˣ > 0: t² + t − 6 = 0 ⇔ (t + 3)(t − 2) = 0.
  • Cum t > 0, t = 2, adică 2ˣ = 2, deci x = 1.

  • Răspuns

    x = 1

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați cel mai mare număr natural n, pentru care n∗n ≤ n.
  • n∗n = 2n − 2017, deci n∗n ≤ n ⇔ 2n − 2017 ≤ n ⇔ n ≤ 2017.
  • Cel mai mare număr natural cu această proprietate este n = 2017.

  • Răspuns

    n = 2017

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Arătați că numărul (23 − √5)∗(23 + √5) este întreg.
  • Numărul este 23 − √5 + 23 + √5 − 2017.
  • Aducând la același numitor (3 − √5)(3 + √5) = 9 − 5 = 4: 2(3 + √5) + 2(3 − √5)4 = 124 = 3.
  • Numărul este 3 − 2017 = −2014, care este număr întreg.

  • Răspuns

    −2014

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 1222 și I₂ = 1001.

1. (5p) Calculați det A.
  • det A = 1222 = 1·2 − 2·2 = 2 − 4 = −2.

  • Răspuns

    det A = −2

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Demonstrați că inversa matricei A este matricea −111−12.
  • A·−111−12 = 1·(−1) + 2·11·1 + 2·(−12)2·(−1) + 2·12·1 + 2·(−12) = 1001 = I₂.
  • −111−12·A = −1 + 2−2 + 21 − 12 − 1 = 1001 = I₂.
  • Ambele produse dau I₂, deci matricea dată este inversa lui A.

  • Răspuns

    A⁻¹ = −111−12

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că A·A − 3A = 2I₂.
  • A·A = 5668 și 3A = 3666.
  • A·A − 3A = 2002 = 2I₂.

  • Răspuns

    A·A − 3A = 2I₂

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Determinați numerele reale x, știind că det(A − xI₂) = 2.
  • A − xI₂ = 1−x222−x, deci det(A − xI₂) = (1 − x)(2 − x) − 4 = x² − 3x − 2.
  • x² − 3x − 2 = 2 ⇔ x² − 3x − 4 = 0 ⇔ (x + 1)(x − 4) = 0, deci x = −1 sau x = 4.

  • Răspuns

    x = −1 sau x = 4

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numărul real a, știind că A·A·A = aA + 6I₂.
  • Din 3: A·A = 3A + 2I₂.
  • A·A·A = (3A + 2I₂)·A = 3A·A + 2A = 3(3A + 2I₂) + 2A = 11A + 6I₂.
  • 11A + 6I₂ = aA + 6I₂ ⇔ (11 − a)A = O₂; cum A nu e matricea nulă, a = 11.

  • Răspuns

    a = 11

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele reale p și q, pentru care A·X = X·A, unde X = 21pq.
  • A·X = 2+2p1+2q4+2p2+2q și X·A = 46p+2q2p+2q.
  • Egalând elementele: 2 + 2p = 4, deci p = 1; 1 + 2q = 6, deci q = 52.
  • Verificare: 4 + 2p = 6 = p + 2q și 2 + 2q = 7 = 2p + 2q.

  • Răspuns

    p = 1, q = 52

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M3 pedagogic

Toate subiectele oficiale, din 2013 încoace →