Rezolvare BAC 2018 Matematică M3 pedagogic, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_pedagogic din modelul 2018 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 2(3 − √5) + √20 = 6.

√20 = √4·5 = 2√5.
2(3 − √5) + 2√5 = 6 − 2√5 + 2√5 = 6.
Răspuns
6
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x² + a − 2. Determinați numărul real a, pentru care f(0) = 0.

f(0) = a − 2.
a − 2 = 0, deci a = 2.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3√7 − x = 1.

Ridicând la puterea a treia: 7 − x = 1³ = 1.
x = 6, care convine.
Răspuns
x = 6
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) După două ieftiniri succesive cu câte 50%, un tricou costă 10 lei. Calculați prețul inițial al tricoului.

Notăm cu p prețul inițial. După prima ieftinire: p − (50100)·p = p2.
După a doua ieftinire: p2 − (50100)·(p2) = p4.
p4 = 10, deci p = 40 de lei.
Răspuns
40 de lei
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(2,3) și N(0,3). Calculați lungimea segmentului MN.

MN = √(0 − 2)² + (3 − 3)² = √4.
MN = 2.
Răspuns
MN = 2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A, știind că BC = 15 și sin C = 35.

În triunghiul dreptunghic în A, sin C = cateta opusăipotenuză = ABBC.
AB15 = 35, deci AB = 9.
Răspuns
AB = 9
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x + y − 3.

1. (5p) Arătați că 3∗(−4) = −4.

3∗(−4) = 3 + (−4) − 3 = −1 − 3 = −4.
Răspuns
−4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Arătați că legea de compoziție „∗” este asociativă.

(x∗y)∗z = (x + y − 3) + z − 3 = x + y + z − 6.
x∗(y∗z) = x + (y + z − 3) − 3 = x + y + z − 6.
Cele două expresii sunt egale pentru orice x, y, z reale, deci legea e asociativă.
Răspuns
(x∗y)∗z = x∗(y∗z)
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Verificați dacă e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗3 = x + 3 − 3 = x și 3∗x = 3 + x − 3 = x, pentru orice x real.
Deci e = 3 este elementul neutru.
Răspuns
da, e = 3 este element neutru
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Demonstrați că (a + 1010)∗(1010 − a) = 1010∗1010, pentru orice număr real a.

(a + 1010)∗(1010 − a) = (a + 1010) + (1010 − a) − 3 = 1010 + 1010 − 3.
Iar 1010∗1010 = 1010 + 1010 − 3, deci cele două sunt egale (= 2017).
Răspuns
ambele sunt egale cu 2017
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numărul real x pentru care 9ˣ = 3ˣ∗9.

3ˣ∗9 = 3ˣ + 9 − 3 = 3ˣ + 6, deci ecuația devine 9ˣ − 3ˣ − 6 = 0.
Cu t = 3ˣ > 0: t² − t − 6 = 0 ⇔ (t + 2)(t − 3) = 0.
t = −2 nu convine (3ˣ > 0), deci 3ˣ = 3 și x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numerele naturale n pentru care n∗(n + 1) ≤ 2.

n∗(n + 1) = n + n + 1 − 3 = 2n − 2.
2n − 2 ≤ 2 ⇔ n ≤ 2, deci n ∈ {0, 1, 2}.
Răspuns
n ∈ {0, 1, 2}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele M = 1324, I₂ = 1001 și A(a) = aI₂ + M, unde a este număr real.

1. (5p) Arătați că det M = −2.

det M = 1324 = 1·4 − 2·3 = 4 − 6 = −2.
Răspuns
−2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

2. (5p) Calculați suma elementelor matricei A(2017).

A(2017) = 2017I₂ + M = 2018322021.
Suma elementelor: 2018 + 3 + 2 + 2021 = 4044.
Răspuns
4044
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

3. (5p) Arătați că M·M = 5M + 2I₂.

M·M = 1324·1324 = 7151022.
5M + 2I₂ = 5151020 + 2002 = 7151022 = M·M.
Răspuns
M·M = 5M + 2I₂
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

4. (5p) Arătați că inversa matricei A(1) este matricea 54−34−1212.

A(1) = I₂ + M = 2325.
A(1)·54−34−1212 = 52 − 32−32 + 3252 − 52−32 + 52 = 1001 = I₂.
54−34−1212·A(1) = 52 − 32154 − 154−1 + 1−32 + 52 = I₂, deci matricea dată este inversa lui A(1).
Răspuns
(A(1))⁻¹ = 54−34−1212
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

5. (5p) Determinați numerele reale a pentru care A(a)·A(a) = A(a²) + M·M.

A(a)·A(a) = (aI₂ + M)(aI₂ + M) = a²I₂ + 2aM + M·M.
A(a²) + M·M = a²I₂ + M + M·M.
Egalitatea devine 2aM = M; cum M ≠ O₂, obținem 2a = 1, deci a = 12.
Răspuns
a = 12
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

6. (5p) Determinați numărul natural m pentru care det(A(m)) < 4.

det(A(m)) = m+132m+4 = (m + 1)(m + 4) − 6 = m² + 5m − 2.
m² + 5m − 2 < 4 ⇔ m² + 5m − 6 < 0 ⇔ (m + 6)(m − 1) < 0 ⇔ m ∈ (−6, 1).
Singurul număr natural din interval este m = 0.
Răspuns
m = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri