Rezolvare BAC 2018 Matematică M1 mate-info, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din modelul 2018 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul n = log₃(√7 − 2) + log₃(√7 + 2) este natural.

Suma logaritmilor în aceeași bază: n = log₃((√7 − 2)(√7 + 2)).
(√7 − 2)(√7 + 2) = 7 − 4 = 3, deci n = log₃3 = 1 ∈ N.
Răspuns
n = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

2. (5p) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R, f(x) = 2x − 1 și g:R→R, g(x) = x² + 6x + 3.

f(x) = g(x) ⇔ 2x − 1 = x² + 6x + 3 ⇔ x² + 4x + 4 = 0 ⇔ (x + 2)² = 0, deci x = −2.
y = f(−2) = −4 − 1 = −5.
Răspuns
(−2, −5)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația (x + 2)³ = (2 − x)³.

Funcția t ↦ t³ e injectivă pe R, deci x + 2 = 2 − x.
2x = 0, deci x = 0.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu elemente ale mulțimii {0, 2, 4, 6, 8}.

Cifra zecilor nu poate fi 0, deci se alege în 4 moduri.
Cifra unităților e diferită de cifra zecilor: 4 moduri (inclusiv 0).
Total: 4·4 = 16 numere.
Răspuns
16 numere
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) Punctele M, N și P verifică relația 2·vector(MN) + 3·vector(NP) = vector nul. Calculați lungimea segmentului MP, știind că MN = 3.

Din relație: 2·vector(MN) = 3·vector(PN), deci vectorii MN și PN au aceeași direcție și sens, iar 2MN = 3NP, adică NP = 2·33 = 2.
M și P sunt de aceeași parte a lui N, iar NP = 2 < MN = 3, deci P aparține segmentului MN.
MP = MN − NP = 3 − 2 = 1.
Răspuns
MP = 1
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin x + sin(π − x) + sin(π + x) + sin(2π − x) = 0, pentru orice număr real x.

Formulele de reducere: sin(π − x) = sin x, sin(π + x) = −sin x, sin(2π − x) = −sin x.
Suma: sin x + sin x − sin x − sin x = 0, pentru orice x real.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x,y) = xy11xyx1y, unde x și y sunt numere reale.

a) (5p) Arătați că det(A(2,3)) = 12.

A(2,3) = 231123213.
231123213 = 12 + 18 + 1 − 4 − 6 − 9 = 12.
Răspuns
det(A(2,3)) = 12
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că det(A(n², n)) ≥ 0, pentru orice număr natural n.

det(A(n², n)) = n²n11n²nn²1n. Adunăm liniile 2 și 3 la linia 1: toate elementele ei devin n² + n + 1, pe care îl scoatem factor.
Rămâne (n² + n + 1)·1111n²n11n; scăzând coloana 1 din celelalte: (n² + n + 1)·1001n²−1n−110n−1 = (n² + n + 1)(n² − 1)(n − 1).
Deci det(A(n², n)) = (n² + n + 1)(n − 1)²(n + 1) ≥ 0, fiindcă fiecare factor e nenegativ pentru n natural.
Răspuns
det(A(n², n)) = (n² + n + 1)(n − 1)²(n + 1) ≥ 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care inversa matricei B = A(x,0)·A(x,0) este matricea A(x,0).

A(x,0) = x011x0x10, iar B = x²+x1x2xx²1x²+1xx.
Condiția: B·A(x,0) = I₃. Calculăm B·A(x,0) = x³+2x²+12xx²+x3x²+xx³+12xx³+x²+2xx²+xx²+1.
Elementul de pe linia 1, coloana 2 trebuie să fie 0: 2x = 0, deci x = 0. Pentru x = 0 produsul devine I₃ (și A(0,0)·B = I₃ la fel), deci condiția e îndeplinită.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = nXⁿ + X² − nX − 1, unde n este număr natural, n ≥ 3.

a) (5p) Arătați că f(1) = 0, pentru orice număr natural n, n ≥ 3.

f(1) = n·1ⁿ + 1² − n·1 − 1 = n + 1 − n − 1 = 0.
Răspuns
f(1) = 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că, dacă n este număr natural impar, n ≥ 3, atunci polinomul f este divizibil cu X² − 1.

Pentru n impar, (−1)ⁿ = −1: f(−1) = −n + 1 + n − 1 = 0, deci f e divizibil cu X + 1.
f(1) = 0, deci f e divizibil și cu X − 1.
X − 1 și X + 1 sunt prime între ele, deci f e divizibil cu (X − 1)(X + 1) = X² − 1.
Răspuns
f divizibil cu X² − 1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că, pentru orice număr natural n, n ≥ 5, polinomul f nu are rădăcini în mulțimea Q − Z.

f are coeficienți întregi, coeficientul dominant n și termenul liber −1. O rădăcină rațională pq (ireductibilă) are p | 1 și q | n, deci o rădăcină din Q − Z ar fi α = 1d, cu d întreg, d ≠ 0, ±1, d divizor al lui n.
f(1d) = 0 ⇔ ndⁿ + 1d² − nd − 1 = 0; înmulțind cu dⁿ: n + dⁿ⁻² − n·dⁿ⁻¹ − dⁿ = 0, adică dⁿ⁻²(d² + nd − 1) = n.
Deci dⁿ⁻² divide n, de unde |d|ⁿ⁻² ≤ n.
Dar |d| ≥ 2, deci |d|ⁿ⁻² ≥ 2ⁿ⁻² > n pentru n ≥ 5 (2³ = 8 > 5 și apoi 2ⁿ⁻² crește mai repede decât n). Contradicție, deci f nu are rădăcini în Q − Z.
Răspuns
f nu are rădăcini în Q − Z
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = arctg x − x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = −x²x² + 1, x∈R.

f'(x) = 1x² + 1 − 1.
Aducând la același numitor: 1 − x² − 1x² + 1 = −x²x² + 1.
Răspuns
f'(x) = −x²x² + 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

m = limx→+∞ f(x)x = limx→+∞ (arctg xx − 1) = 0 − 1 = −1 (arctg x e mărginită).
n = limx→+∞ (f(x) + x) = limx→+∞ arctg x = π2.
Asimptota oblică spre +∞: y = −x + π2.
Răspuns
y = −x + π2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că f(x) + g(x) = π2, pentru orice număr real x, unde g:R→R, g(x) = arcctg x + x.

f(x) + g(x) = arctg x + arcctg x.
(f + g)'(x) = 1x² + 1 − 1x² + 1 = 0, deci f + g e constantă pe R.
f(0) + g(0) = 0 + π2 = π2, deci f(x) + g(x) = π2 pentru orice x real.
Răspuns
f(x) + g(x) = π2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = e^−x².