Rezolvare BAC 2017 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a, rezervă

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea a II-a, rezervă 2017 (Varianta de rezervă a sesiunii de toamnă 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (5 − 4i)² + (5 + 4i)² = 18, unde i² = −1.

(5 − 4i)² = 25 − 40i + 16i² și (5 + 4i)² = 25 + 40i + 16i².
Suma: 50 + 32i² = 50 − 32 = 18.
Răspuns
18
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 6x + 8. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox.

Punctele de pe Ox au f(x) = 0: x² − 6x + 8 = 0.
Δ = 36 − 32 = 4, deci x = 6 ± 22: x = 2 sau x = 4.
Răspuns
x = 2 și x = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x² − x − 2 = x − 2.

Ridicând la pătrat: x² − x − 2 = (x − 2)² = x² − 4x + 4, deci 3x = 6 și x = 2.
Verificare: √4 − 2 − 2 = 0 = 2 − 2, deci x = 2 convine.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 9.

Sunt 90 de numere naturale de două cifre: 90 de cazuri posibile.
Produsul cifrelor 9 se obține din 1·9, 3·3, 9·1: numerele 19, 33 și 91, deci 3 cazuri favorabile.
p = 390 = 130.
Răspuns
p = 130
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,1) și B(2,3). Determinați coordonatele punctului M, știind că punctul B este mijlocul segmentului AM.

x_B = x_A + x_M2: 2 = 2 + x_M2, deci x_M = 2.
y_B = y_A + y_M2: 3 = 1 + y_M2, deci y_M = 5.
Răspuns
M(2,5)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați aria paralelogramului ABCD, știind că AB = 6, BC = 3 și m(∢ABC) = 30°.

Aria paralelogramului: A = AB·BC·sin(∢ABC) = 6·3·sin30°.
A = 18·(12) = 9.
Răspuns
9
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(x) = 00xx000x0, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 1.

A(1) = 001100010.
Cu regula lui Sarrus, singurul produs nenul este a₁₃·a₂₁·a₃₂ = 1·1·1, deci det(A(1)) = 0 + 1 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1.
Răspuns
det(A(1)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(x)A(y)A(z) = xyzI₃, pentru orice numere reale x, y și z.

A(x)A(y) = 00xx000x0·00yy000y0 = 0xy000xyxy00.
A(x)A(y)A(z) = 0xy000xyxy00·00zz000z0 = xyz000xyz000xyz = xyzI₃.
Răspuns
A(x)A(y)A(z) = xyzI₃
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul n, numărul det(A(n)A(n) + A(n) + I₃) este pătratul unui număr natural.

Ca la b), A(n)A(n) = 0n²000n²n²00, deci A(n)A(n) + A(n) + I₃ = 1n²nn1n²n²n1.
Cu regula lui Sarrus: det = 1 + n⁶ + n³ − n³ − n³ − n³ = n⁶ − 2n³ + 1.
n⁶ − 2n³ + 1 = (n³ − 1)², iar n³ − 1 este număr natural pentru n ≥ 1, deci determinantul este pătratul unui număr natural.
Răspuns
det = (n³ − 1)²
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X⁴ + aX² + 4, unde a este număr real.

a) (5p) Determinați numărul real a, știind că f(2) = 0.

f(2) = 2⁴ + a·2² + 4 = 4a + 20.
4a + 20 = 0, deci a = −5.
Răspuns
a = −5
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Pentru a = −5, determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X² + X − 2.

Pentru a = −5: f = X⁴ − 5X² + 4.
(X² + X − 2)(X² − X − 2) = (X² − 2)² − X² = X⁴ − 4X² + 4 − X² = X⁴ − 5X² + 4 = f.
Deci câtul este X² − X − 2, iar restul este 0.
Răspuns
câtul X² − X − 2, restul 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați rădăcinile polinomului f, știind că f(i) = 0, unde i² = −1.

f(i) = i⁴ + a·i² + 4 = 1 − a + 4 = 5 − a = 0, deci a = 5.
f = X⁴ + 5X² + 4 = (X² + 1)(X² + 4).
Rădăcinile: x₁ = i, x₂ = −i, x₃ = 2i, x₄ = −2i.
Răspuns
x ∈ {i, −i, 2i, −2i}
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = ln(√x² + 1 + x).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 1√(x² + 1), x ∈ R.

f'(x) = (√(x² + 1) + x)'√(x² + 1) + x, iar (√x² + 1 + x)' = x√(x² + 1) + 1 = x + √(x² + 1)√(x² + 1).
Simplificând cu √x² + 1 + x: f'(x) = 1√(x² + 1).
Răspuns
f'(x) = 1√(x² + 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f, în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = ln(1 + 0) = 0 și f'(0) = 11 = 1.
Tangenta: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y = x.
Răspuns
y = x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Calculați limx→−∞ f(x).

Amplificăm cu conjugata: √x² + 1 + x = x² + 1 − x²√(x² + 1) − x = 1√(x² + 1) − x.
Pentru x → −∞, √x² + 1 − x → +∞, deci limx→−∞ (√x² + 1 + x) = 0, cu valori pozitive.
Atunci limx→−∞ f(x) = limx→−∞ ln(√x² + 1 + x) = −∞.
Răspuns
−∞
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1 − 1eˣ + 1.