Rezolvare BAC 2021 Matematică M1 mate-info, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea I (vară) 2021 (Proba E.c) — iulie 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (1 + i)² − 2(1 + i) + 2 = 0, unde i² = −1.

(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i.
2i − 2 − 2i + 2 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + ax − 5, unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctul M(1,2) aparține graficului funcției f.

M(1,2) aparține graficului ⇔ f(1) = 2, adică 1 + a − 5 = 2.
a − 4 = 2, deci a = 6.
Răspuns
a = 6
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(x² + 1) = log₄x + log₄(x + 1).

Condiții de existență: x > 0 și x + 1 > 0, deci x > 0.
log₄x + log₄(x + 1) = log₄(x(x + 1)), deci x² + 1 = x² + x.
Rezultă x = 1, care verifică x > 0, deci convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 2 și cu 5.

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Divizibil cu 2 și cu 5 înseamnă divizibil cu 10: 10, 20, …, 90, adică 9 cazuri favorabile.
p = 990 = 110.
Răspuns
p = 110
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(3,4), N(0,1) și P(3,0). Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul P și este paralelă cu dreapta MN.

Panta dreptei MN: 4 − 13 − 0 = 1; dreptele paralele au aceeași pantă, deci panta lui d este 1.
d trece prin P(3,0): y − 0 = 1·(x − 3), adică y = x − 3.
Răspuns
d: y = x − 3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în C. Arătați că tg B = 1tg A.

În triunghiul dreptunghic în C, catetele sunt AC și BC: tg A = BCAC (cateta opusă / cateta alăturată).
tg B = ACBC = 1BC/AC = 1tg A.
Răspuns
tg B = 1tg A
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₃ = 100010001 și A(a) = a+20−a0203a02−3a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 8.

A(0) = 200020002.
det(A(0)) = 200020002 = 2·2·2 = 8 (matrice diagonală).
Răspuns
det(A(0)) = 8
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați matricea B ∈ M₃(R), știind că aB = A(a) − 2I₃, pentru orice număr real a.

A(a) − 2I₃ = a0−a0003a0−3a = a·10−100030−3, pentru orice a.
Egalitatea aB = A(a) − 2I₃ are loc pentru orice a ⇔ B = 10−100030−3 (de exemplu, pentru a = 1 obținem chiar B).
Răspuns
B = 10−100030−3
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural n pentru care det(A(n)·A(−n)) > 0.

Dezvoltând după linia a doua: det(A(a)) = 2·a+2−a3a2−3a = 2((a + 2)(2 − 3a) + 3a²) = 2(4 − 4a) = 8(1 − a).
det(A(n)·A(−n)) = det(A(n))·det(A(−n)) = 8(1 − n)·8(1 + n) = 64(1 − n²).
64(1 − n²) > 0 ⇔ n² < 1, iar singurul număr natural cu această proprietate este n = 0.
Răspuns
n = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = (12)(x + y + |x − y|).

a) (5p) Arătați că 2∗0 = 2.

2∗0 = (12)(2 + 0 + |2 − 0|) = (12)(2 + 2) = 2.
Răspuns
2∗0 = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că, dacă a și b sunt numere reale astfel încât a ≤ b, atunci a∗b = b.

Din a ≤ b avem a − b ≤ 0, deci |a − b| = b − a.
a∗b = (12)(a + b + b − a) = (12)·2b = b.
Răspuns
a∗b = b
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care ((2x)∗(x² + 1))∗(−2x) = 10.

Observăm că legea dă maximul celor două numere: din b) și comutativitate, x∗y = max(x, y).
x² + 1 − 2x = (x − 1)² ≥ 0, deci 2x ≤ x² + 1 și (2x)∗(x² + 1) = x² + 1.
x² + 1 + 2x = (x + 1)² ≥ 0, deci −2x ≤ x² + 1 și (x² + 1)∗(−2x) = (−2x)∗(x² + 1) = x² + 1.
x² + 1 = 10 ⇔ x² = 9, deci x = −3 sau x = 3.
Răspuns
x ∈ {−3, 3}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − √x² + 3.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = √(x² + 3) − x√(x² + 3), x∈R.

(√x² + 3)' = 2x2√(x² + 3) = x√(x² + 3).
f'(x) = 1 − x√(x² + 3) = √(x² + 3) − x√(x² + 3).
Răspuns
f'(x) = √(x² + 3) − x√(x² + 3)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

Amplificăm cu conjugata: x − √x² + 3 = x² − (x² + 3)x + √(x² + 3) = −3x + √(x² + 3).
Pentru x → +∞ numitorul tinde la +∞, deci limx→+∞ f(x) = 0.
Dreapta y = 0 este asimptota orizontală spre +∞.
Răspuns
y = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care ecuația f(x) = a are soluție.

√x² + 3 > √x² = |x| ≥ x, deci f'(x) > 0 pentru orice x real: f este strict crescătoare.
limx→−∞ f(x) = −∞ − ∞ = −∞, iar limx→+∞ f(x) = 0 (de la b)).
f este continuă și strict crescătoare, deci mulțimea valorilor ei este (−∞, 0); ecuația f(x) = a are soluție ⇔ a ∈ (−∞, 0).
Răspuns
a ∈ (−∞, 0)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xx² + x + 3.