Acasă / Subiecte rezolvate / 2021 / Rezolvare M1 mate-info

Rezolvare BAC 2021 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea specială 2021 (Proba E.c) — sesiunea specială 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Rezolvă-l cronometrat, cu notă Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Calculați modulul numărului complex z = (2 + 3i)(2 − 3i) − (9 − 3i).
  • (2 + 3i)(2 − 3i) = 2² − (3i)² = 4 + 9 = 13.
  • z = 13 − 9 + 3i = 4 + 3i.
  • |z| = √4² + 3² = √25 = 5.

  • Răspuns

    |z| = 5

  • Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x − 2 și g:R→R, g(x) = 5x + 20. Calculați (g∘f)(2).
  • f(2) = 2 − 2 = 0.
  • (g∘f)(2) = g(f(2)) = g(0) = 5·0 + 20 = 20.

  • Răspuns

    (g∘f)(2) = 20

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x−5 = 116.
  • 116 = 4⁻², deci ecuația devine 4x−5 = 4⁻².
  • Exponenții sunt egali: x − 5 = −2, deci x = 3.

  • Răspuns

    x = 3

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 8.
  • Numerele de trei cifre sunt 100, 101, …, 999: 900 de cazuri posibile.
  • Cifrele cu produsul 8 pot fi {1, 1, 8}, {1, 2, 4} sau {2, 2, 2}: numerele 118, 181, 811, 124, 142, 214, 241, 412, 421 și 222, adică 10 cazuri favorabile.
  • p = 10900 = 190.

  • Răspuns

    p = 190

  • Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) Se consideră paralelogramul ABCD cu AB = 4, BC = 6 și măsura unghiului ABC de 120°. Determinați modulul vectorului AM, unde punctul M este mijlocul segmentului BD.
  • Diagonalele paralelogramului se înjumătățesc, deci M este și mijlocul lui AC, iar AM = AC2.
  • Teorema cosinusului în triunghiul ABC: AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos120° = 16 + 36 − 2·4·6·(−12) = 52 + 24 = 76.
  • AC = √76 = 2√19, deci |AM| = √19.

  • Răspuns

    |AM| = √19

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC cu AB = 12, AC = 16 și BC = 20. Arătați că rR = 25, unde r este raza cercului înscris în triunghiul ABC și R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.
O121620ABC
  • AB² + AC² = 144 + 256 = 400 = BC², deci triunghiul e dreptunghic în A, iar R = BC2 = 10.
  • Aria = AB·AC2 = 12·162 = 96, iar semiperimetrul p = 482 = 24.
  • r = Aria/p = 9624 = 4, deci rR = 410 = 25.

  • Răspuns

    rR = 25

  • Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a1−22132a−121 și sistemul de ecuații ax + y − 2z = 22x + y + 3z = 1(2a−1)x + 2y + z = a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(4)) = 5.
  • A(4) = 41−2213721.
  • det(A(4)) = 41−2213721 = 4 + 21 − 8 + 14 − 2 − 24 = 5.

  • Răspuns

    det(A(4)) = 5

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real a pentru care matricea A(a) nu este inversabilă.
  • Dezvoltând după prima linie: det(A(a)) = a(1 − 6) − (2 − 3(2a − 1)) − 2(4 − (2a − 1)) = −5a − 5 + 6a − 10 + 4a = 5a − 15.
  • A(a) nu e inversabilă ⇔ det(A(a)) = 0 ⇔ 5a − 15 = 0, deci a = 3.

  • Răspuns

    a = 3

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru a = 3, determinați soluțiile (x₀, y₀, z₀) ale sistemului de ecuații pentru care z₀² = x₀ + y₀.
  • Pentru a = 3 sistemul este 3x + y − 2z = 22x + y + 3z = 15x + 2y + z = 3; a treia ecuație e suma primelor două, deci rămân primele două.
  • Notăm z = α. Scăzând a doua ecuație din prima: x − 5α = 1, deci x = 1 + 5α; apoi y = 1 − 2x − 3α = −1 − 13α.
  • Soluțiile sunt (1 + 5α, −1 − 13α, α), α ∈ R, iar x₀ + y₀ = −8α.
  • z₀² = x₀ + y₀ ⇔ α² = −8α ⇔ α(α + 8) = 0, deci α = 0 sau α = −8.

  • Răspuns

    (x₀, y₀, z₀) = (1, −1, 0) sau (−39, 103, −8)

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea G = (1, +∞) se definește legea de compoziție asociativă x∗y = √xlog₃y.

a) (5p) Arătați că 4∗3 = 2.
  • 4∗3 = √4log₃3 = √4¹ = √4 = 2.

  • Răspuns

    4∗3 = 2

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = 9 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.
  • x∗9 = √xlog₃9 = √x² = x, pentru orice x ∈ G (x > 0).
  • 9∗x = √9log₃x = √32log₃x = √(3log₃x)² = √x² = x, pentru orice x ∈ G.
  • Cum 9 ∈ G și x∗9 = 9∗x = x, e = 9 este elementul neutru.

  • Răspuns

    e = 9 este element neutru

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați x ∈ G, știind că este egal cu simetricul lui în raport cu legea de compoziție „∗”.
  • x este propriul simetric ⇔ x∗x = e = 9 ⇔ √xlog₃x = 9 ⇔ xlog₃x = 81.
  • Logaritmând în baza 3: log₃x·log₃x = log₃81, adică (log₃x)² = 4.
  • log₃x = −2 dă x = 19 ∉ G, nu convine; log₃x = 2 dă x = 9 ∈ G, care convine.

  • Răspuns

    x = 9

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² − 9)(x² − 4) + 3.

Vezi graficul funcției f
−4−3−2−1123420406080xy

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2x(2x² − 13), x∈R.
  • f'(x) = 2x(x² − 4) + (x² − 9)·2x.
  • = 2x(x² − 4 + x² − 9) = 2x(2x² − 13).

  • Răspuns

    f'(x) = 2x(2x² − 13)

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→3 sin(x − 3)f(x) − 3 = 130.
  • f(x) − 3 = (x² − 9)(x² − 4) = (x − 3)(x + 3)(x² − 4).
  • Limita devine limx→3 sin(x − 3)x − 3 · 1(x + 3)(x² − 4).
  • limx→3 sin(x − 3)x − 3 = 1, deci limita este 1·16·5 = 130.

  • Răspuns

    130

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați valorile reale ale lui m pentru care ecuația f(x) = m are exact patru soluții reale.
  • f'(x) = 0 ⇔ x = −√132, x = 0 sau x = √132; f' < 0 pe (−∞, −√132) și pe (0, √132), f' > 0 pe (−√132, 0) și pe (√132, +∞).
  • Deci f e strict descrescătoare pe (−∞, −√132] și pe [0, √132], strict crescătoare pe [−√132, 0] și pe [√132, +∞).
  • f(±√132) = (132 − 9)(132 − 4) + 3 = −254 + 3 = −134, f(0) = 36 + 3 = 39, iar limx→−∞ f(x) = limx→+∞ f(x) = +∞.
  • f fiind continuă, pe fiecare din cele patru intervale de monotonie ecuația f(x) = m are câte o soluție exact când −134 < m < 39; altfel are cel mult două soluții.

  • Răspuns

    m ∈ (−134, 39)

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x·arctg x.

Vezi graficul funcției f
−4−3−2−1123424681012xy

a) (5p) Arătați că ∫[1,2] f(x)arctg x dx = 3.
  • Pe [1, 2], arctg x > 0 și f(x)arctg x = 2x.
  • ∫[1,2] 2x dx = [x²] de la 1 la 2 = 4 − 1 = 3.

  • Răspuns

    3

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real nenul a pentru care ∫[0,√3] f(x) dx = πa − √3.
  • Prin părți, cu (x² + 1)' = 2x: ∫[0,√3] 2x·arctg x dx = [(x² + 1)·arctg x] de la 0 la √3 − ∫[0,√3] (x² + 1)·1/(x² + 1) dx.
  • [(x² + 1)·arctg x] de la 0 la √3 = 4·arctg√3 − 0 = 4·π3, iar ∫[0,√3] 1 dx = √3.
  • Integrala este 4π3 − √3 = π3/4 − √3, deci a = 34.

  • Răspuns

    a = 34

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ∫[−1,1] x·f(x) dx = 0.
  • x·f(x) = 2x²·arctg x. Notăm h(x) = 2x²·arctg x; cum arctg(−x) = −arctg x, h(−x) = −h(x), deci h e impară.
  • Cu substituția x = −t: I = ∫[−1,1] 2x²·arctg x dx = ∫[1,−1] 2t²·arctg(−t)·(−1) dt = −∫[−1,1] 2t²·arctg t dt = −I.
  • Din I = −I rezultă 2I = 0, deci I = 0.

  • Răspuns

    ∫[−1,1] x·f(x) dx = 0

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M1 mate-info

Toate subiectele oficiale, din 2013 încoace →