Rezolvare BAC 2019 Matematică M1 mate-info, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea I (vară) 2019 (Proba E.c) — sesiunea din vară 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul n = (3 − i√2)(3 + i√2) este întreg, unde i² = −1.

Folosim (a − b)(a + b) = a² − b²: n = 3² − (i√2)².
(i√2)² = i²·2 = −2, deci n = 9 − (−2) = 11 ∈ Z.
Răspuns
n = 11
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Determinați numărul real a, știind că punctul A(a, 3) aparține graficului funcției f:R→R, f(x) = 2x + a.

A aparține graficului ⇔ f(a) = 3, adică 2a + a = 3.
3a = 3, deci a = 1.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2019ˣ + 2019⁻ˣ = 2.

Notăm t = 2019ˣ > 0; ecuația devine t + 1t = 2, adică t² − 2t + 1 = 0.
(t − 1)² = 0, deci t = 1, adică 2019ˣ = 1 și x = 0.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților impară.

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Pentru fiecare dintre cele 9 cifre ale zecilor, cifra unităților poate fi 1, 3, 5, 7 sau 9: 9·5 = 45 de cazuri favorabile.
p = 4590 = 12.
Răspuns
p = 12
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(3, −3) și B(2, −2). Determinați ecuația dreptei d care trece prin A și este perpendiculară pe AB.

Panta lui AB: m_AB = −2 − (−3)2 − 3 = 1−1 = −1.
d ⊥ AB, deci m_d·m_AB = −1 și m_d = 1.
Ecuația lui d: y − (−3) = 1·(x − 3), adică y = x − 6.
Răspuns
d: y = x − 6
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin(a − b)·sin(a + b) = (sin a − sin b)(sin a + sin b), pentru orice numere reale a și b.

sin(a − b)·sin(a + b) = (sin a·cos b − sin b·cos a)(sin a·cos b + sin b·cos a) = sin²a·cos²b − sin²b·cos²a.
Înlocuim cos²b = 1 − sin²b și cos²a = 1 − sin²a: sin²a(1 − sin²b) − sin²b(1 − sin²a) = sin²a − sin²b.
sin²a − sin²b = (sin a − sin b)(sin a + sin b), pentru orice a, b reale.
Răspuns
egalitatea este adevărată
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a0−a020−a0a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(a)) = 0, pentru orice număr real a.

det(A(a)) = a0−a020−a0a.
Cu regula lui Sarrus: det(A(a)) = 2a² + 0 + 0 − 2a² − 0 − 0 = 0, pentru orice a real.
Răspuns
det(A(a)) = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(a)A(b) = 2A(ab), pentru orice numere reale a și b.

A(a)A(b) = a0−a020−a0a·b0−b020−b0b = 2ab0−2ab040−2ab02ab.
Scoatem factorul 2: 2ab0−2ab040−2ab02ab = 2ab0−ab020−ab0ab = 2A(ab).
Răspuns
A(a)A(b) = 2A(ab)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că matricea B = A(log₂3)·A(log₃4)·A(log₄5)·…·A(log₁₅16) are toate elementele numere întregi.

Produsul are 14 factori; aplicând de 13 ori relația de la b), fiecare înmulțire scoate un factor 2 și înmulțește argumentele.
B = 2¹³·A(log₂3·log₃4·log₄5·…·log₁₅16).
Din formula de schimbare a bazei, log₂3·log₃4·…·log₁₅16 = log₂16 = 4, deci B = 2¹³·A(4).
A(4) are elementele 4, 0, −4, 2 (numere întregi), iar 2¹³ e întreg, deci B are toate elementele numere întregi.
Răspuns
B = 2¹³·A(4), cu elemente întregi
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ + X² + mX + n, unde m și n sunt numere reale.

a) (5p) Arătați că f(−1) − 2f(0) + f(1) = 2, pentru orice numere reale m și n.

f(−1) = −1 + 1 − m + n = −m + n, f(0) = n și f(1) = 1 + 1 + m + n = 2 + m + n.
f(−1) − 2f(0) + f(1) = −m + n − 2n + 2 + m + n = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale m și n, știind că polinomul f este divizibil cu polinomul X² − 1.

X² − 1 = (X − 1)(X + 1), deci f e divizibil cu X² − 1 ⇔ f(1) = 0 și f(−1) = 0.
f(1) = 2 + m + n = 0 și f(−1) = −m + n = 0.
Din a doua, m = n; în prima, 2 + 2n = 0, deci n = −1 și m = −1.
Răspuns
m = −1, n = −1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 3(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ + x₁x₂x₃) − (x₁³ + x₂³ + x₃³) = 1, pentru orice numere reale m și n, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = −1, x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = m, x₁x₂x₃ = −n.
Fiecare rădăcină verifică xₖ³ = −xₖ² − mxₖ − n; adunând: x₁³ + x₂³ + x₃³ = −(x₁² + x₂² + x₃²) − m(x₁ + x₂ + x₃) − 3n.
x₁² + x₂² + x₃² = (−1)² − 2m = 1 − 2m, deci x₁³ + x₂³ + x₃³ = −1 + 2m + m − 3n = −1 + 3m − 3n.
3(m − n) − (−1 + 3m − 3n) = 3m − 3n + 1 − 3m + 3n = 1.
Răspuns
expresia este egală cu 1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²e⁻ˣ.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x(2 − x)e⁻ˣ, x∈R.

Derivata produsului: f'(x) = 2x·e⁻ˣ + x²·(−e⁻ˣ) = (2x − x²)e⁻ˣ.
Scoatem factor comun x: f'(x) = x(2 − x)e⁻ˣ.
Răspuns
f'(x) = x(2 − x)e⁻ˣ
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

e⁻ˣ > 0, deci semnul lui f' este semnul lui x(2 − x); f'(x) = 0 ⇔ x = 0 sau x = 2.
f'(x) ≤ 0 pe (−∞, 0], deci f e descrescătoare pe (−∞, 0].
f'(x) ≥ 0 pe [0, 2], deci f e crescătoare pe [0, 2]; f'(x) ≤ 0 pe [2, +∞), deci f e descrescătoare pe [2, +∞).
Răspuns
f descrescătoare pe (−∞, 0] și pe [2, +∞), crescătoare pe [0, 2]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, pentru orice a ∈ (0, 4e⁻²), ecuația f(x) = a are exact trei soluții reale.

Valori importante: f(0) = 0, f(2) = 4e⁻², limx→−∞ f(x) = +∞ și limx→+∞ x²eˣ = 0.
Pentru a ∈ (0, 4e⁻²): pe (−∞, 0), f scade strict de la +∞ la 0, iar 0 < a, deci f(x) = a are exact o soluție.
Pe (0, 2), f crește strict de la 0 la 4e⁻², iar 0 < a < 4e⁻², deci exact o soluție.
Pe (2, +∞), f scade strict de la 4e⁻² spre 0, iar 0 < a < 4e⁻², deci exact o soluție. f fiind continuă, ecuația are în total exact trei soluții reale.
Răspuns
exact trei soluții reale
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x² + ln x.