Rezolvare BAC 2020 Matematică M1 mate-info, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea a II-a (toamnă) 2020 (Proba E.c) — octombrie 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex z = 2 + i. Arătați că z² − 4z + 5 = 0.

z² = (2 + i)² = 4 + 4i + i² = 3 + 4i și 4z = 8 + 4i.
z² − 4z + 5 = 3 + 4i − 8 − 4i + 5 = 0.
Răspuns
z² − 4z + 5 = 0
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + x + a, unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că punctul M(0,2) aparține graficului funcției f.

M(0,2) aparține graficului ⇔ f(0) = 2.
f(0) = a, deci a = 2.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x = 3√x³ + 2x.

Ridicând la puterea a treia: x³ = x³ + 2x.
Obținem 2x = 0, deci x = 0 (verificare: ∛0 = 0).
Răspuns
x = 0
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de cinci cifre distincte, formate cu cifre din mulțimea {1, 2, 3, 4, 5}, acesta să aibă cifra zecilor egală cu 2 și cifra unităților egală cu 3.

Numerele de cinci cifre distincte formate cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5 sunt permutările lor: 5! = 120 de cazuri posibile.
Cu zecile 2 și unitățile 3, celelalte trei cifre (1, 4, 5) se așază pe primele trei poziții în 3! = 6 moduri: 6 cazuri favorabile.
p = 6120 = 120.
Răspuns
p = 120
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,1), B(2,3) și C(4,a), unde a este un număr real. Determinați numărul real a, știind că punctul C este situat pe mediatoarea segmentului AB.

C e pe mediatoarea lui AB ⇔ CA = CB, adică √(4 − 0)² + (a − 1)² = √(4 − 2)² + (a − 3)².
16 + a² − 2a + 1 = 4 + a² − 6a + 9, deci 4a = −4 și a = −1.
Răspuns
a = −1
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Măsurile unghiurilor A, B și C ale triunghiului ABC sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Demonstrați că măsura unghiului B este egală cu π3.

Într-un triunghi A + B + C = π, iar din progresia aritmetică 2B = A + C.
Înlocuind: B + 2B = π, deci 3B = π și B = π3.
Răspuns
B = π3
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = 101+ln x0x0001, unde x ∈ (0,+∞).

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 1.

A(1) = 101010001 (ln1 = 0).
Matricea e superior triunghiulară, deci determinantul e produsul elementelor de pe diagonală: 1·1·1 = 1.
Răspuns
det(A(1)) = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(x)A(y) = A(y)A(x), pentru orice x, y ∈ (0,+∞).

A(x)A(y) = 101+ln y+1+ln x0xy0001 = 102+ln(xy)0xy0001.
Analog, A(y)A(x) = 102+ln(yx)0yx0001.
Cum xy = yx, cele două produse sunt egale, pentru orice x, y ∈ (0,+∞).
Răspuns
A(x)A(y) = A(y)A(x)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul natural n pentru care A(13)·A(12)·A(1)·A(2)·A(3) = 10n010001.

Din b): A(13)·A(3) = 102+ln1010001 = 102010001 și la fel A(12)·A(2) = 102010001.
Matricele comută, deci produsul se poate reordona: A(13)·A(3)·A(12)·A(2)·A(1).
102010001·102010001·101010001 = 105010001, deci n = 5.
Răspuns
n = 5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = xy − 4(x + y) + a, unde a este număr real.

a) (5p) Pentru a = 10, arătați că 1∗2 = 0.

1∗2 = 1·2 − 4(1 + 2) + 10 = 2 − 12 + 10 = 0.
Răspuns
1∗2 = 0
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Pentru a = 20, arătați că e = 5 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”.

x∗5 = 5x − 4(x + 5) + 20 = 5x − 4x − 20 + 20 = x, pentru orice număr real x.
5∗x = 5x − 4(5 + x) + 20 = x, pentru orice număr real x.
Deci x∗5 = 5∗x = x, adică e = 5 este elementul neutru.
Răspuns
e = 5 este element neutru
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, dacă a ∈ [20,+∞), atunci mulțimea H = [4,+∞) este parte stabilă a mulțimii numerelor reale în raport cu legea de compoziție „∗”.

Forma factorizată: x∗y = xy − 4x − 4y + 16 + a − 16 = (x − 4)(y − 4) + a − 16.
Pentru x, y ∈ H: x − 4 ≥ 0 și y − 4 ≥ 0, deci (x − 4)(y − 4) ≥ 0.
Cum a ≥ 20, a − 16 ≥ 4, deci x∗y ≥ 4, adică x∗y ∈ H: H este parte stabilă.
Răspuns
x∗y ∈ H pentru orice x, y ∈ H
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→(0,+∞), f(x) = 6ˣ − 3ˣ + 2ˣ.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(0) = ln4.

f'(x) = 6ˣ·ln6 − 3ˣ·ln3 + 2ˣ·ln2, x∈R.
f'(0) = ln6 − ln3 + ln2 = ln(6·23) = ln4.
Răspuns
f'(0) = ln4
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Se consideră tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f. Determinați numărul real a pentru care punctul A(a, ln(16e)) este situat pe această tangentă.

f(0) = 1 − 1 + 1 = 1, iar f'(0) = ln4, deci tangenta este y − 1 = ln4·(x − 0), adică y = x·ln4 + 1.
A e pe tangentă ⇔ ln(16e) = a·ln4 + 1.
ln(16e) = ln16 + 1 = 2ln4 + 1, deci a·ln4 = 2ln4 și a = 2.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Calculați limx→0 ln(f(x))x.

f(0) = 1, deci ln(f(0)) = 0: limita e de forma 00; aplicăm regula lui l'Hôpital.
(ln(f(x)))' = f'(x)f(x), deci limita este f'(0)f(0) = ln41 = ln4.
Răspuns
ln4
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 1 − 2xx² + 3 − 2x² + 3.