Rezolvare BAC 2019 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea specială 2019 (Proba E.c) — sesiunea specială 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numerele complexe z₁ = 3 − i și z₂ = 8 − 3i. Arătați că 3z₁ − z₂ = 1.

3z₁ = 3(3 − i) = 9 − 3i.
3z₁ − z₂ = 9 − 3i − 8 + 3i = 1.
Răspuns
3z₁ − z₂ = 1
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Determinați numărul real a pentru care f(a) + f(a + 1) = 35, unde f:R→R, f(x) = x − 5.

f(a) = a − 5 și f(a + 1) = a + 1 − 5 = a − 4.
Din a − 5 + a − 4 = 35 obținem 2a − 9 = 35, deci 2a = 44 și a = 22.
Răspuns
a = 22
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2·4ˣ − 4ˣ⁺¹ + 32 = 0.

4ˣ⁺¹ = 4·4ˣ, deci ecuația devine 4ˣ(2 − 4) + 32 = 0, adică −2·4ˣ + 32 = 0.
4ˣ = 16 = 4², deci x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice relația n(n + 1) ≥ 42.

Numerele naturale de o cifră sunt 0, 1, …, 9: 10 cazuri posibile.
5·6 = 30 < 42, iar 6·7 = 42; produsul n(n + 1) crește cu n, deci relația e verificată pentru n ∈ {6, 7, 8, 9}: 4 cazuri favorabile.
p = 410 = 25.
Răspuns
p = 25
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(8,4), B(0,6) și C(m,5). Determinați numărul real m, știind că AC = CB (vectori).

Egalitatea vectorilor AC = CB înseamnă că C este mijlocul segmentului AB.
Mijlocul lui AB are abscisa 8 + 02 = 4 și ordonata 4 + 62 = 5, deci C(4,5) și m = 4.
Răspuns
m = 4
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați lungimea ipotenuzei BC a triunghiului dreptunghic ABC, știind că AB = 6 și aria triunghiului ABC este egală cu 24.

Ipotenuza e BC, deci unghiul drept e în A, iar aria = AB·AC2 = 6·AC2 = 24, de unde AC = 8.
Teorema lui Pitagora: BC = √6² + 8² = √100 = 10.
Răspuns
BC = 10
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a+10001ln(a+1)001, unde a este număr real, a > 0.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 2.

A(1) = 20001ln2001.
Matricea e superior triunghiulară, deci determinantul e produsul elementelor de pe diagonală: det(A(1)) = 2·1·1 = 2.
Răspuns
det(A(1)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(a)A(b) = A(ab + a + b), pentru orice numere reale a și b, a > 0, b > 0.

A(a)A(b) = (a+1)(b+1)0001ln(b+1) + ln(a+1)001.
(a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1 și ln(a + 1) + ln(b + 1) = ln((a + 1)(b + 1)) = ln(ab + a + b + 1).
Cum ab + a + b > 0, matricea obținută este exact A(ab + a + b).
Răspuns
A(a)A(b) = A(ab + a + b)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a, a > 0, știind că A(a)A(a)A(a) = A(7).

Din b): A(a)A(a) = A(a² + 2a) = A((a + 1)² − 1).
Apoi A(a)A(a)A(a) = A((a + 1)² − 1)·A(a) = A((a + 1)²(a + 1) − 1) = A((a + 1)³ − 1).
(a + 1)³ − 1 = 7 ⇔ (a + 1)³ = 8 ⇔ a + 1 = 2, deci a = 1, care convine.
Răspuns
a = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră x₁, x₂, x₃ rădăcinile polinomului f = X³ + mX² − mX + 2, unde m este număr real.

a) (5p) Determinați numărul real m, știind că f(−2) = 0.

f(−2) = −8 + 4m + 2m + 2 = 6m − 6.
6m − 6 = 0, deci m = 1.
Răspuns
m = 1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Pentru m = 1, determinați rădăcinile polinomului f.

Pentru m = 1: f = X³ + X² − X + 2, iar din a) f(−2) = 0, deci f se divide cu X + 2.
Împărțind: f = (X + 2)(X² − X + 1).
X² − X + 1 = 0 are Δ = 1 − 4 = −3, deci x = 1 ± i√32.
Răspuns
x₁ = −2, x₂ = 1 − i√32, x₃ = 1 + i√32
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Se consideră a = x₁² + mx₁x₂x₃ + x₂² + mx₂x₁x₃ + x₃² + mx₃x₁x₂. Demonstrați că a ∈ [3, +∞), pentru orice număr real m.

Relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = −m și x₁x₂x₃ = −2 (deci rădăcinile sunt nenule).
Aducem la numitorul comun x₁x₂x₃: a = x₁³ + mx₁² + x₂³ + mx₂² + x₃³ + mx₃²x₁x₂x₃.
Din f(xₖ) = 0: xₖ³ + mxₖ² = mxₖ − 2, deci numărătorul este m(x₁ + x₂ + x₃) − 6 = −m² − 6.
a = −m² − 6−2 = m² + 62 ≥ 62 = 3, deci a ∈ [3, +∞).
Răspuns
a = m² + 62 ≥ 3
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ(x² + 4x + 1).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ(x + 5)(x + 1), x∈R.

f'(x) = eˣ(x² + 4x + 1) + eˣ(2x + 4) = eˣ(x² + 6x + 5).
x² + 6x + 5 = (x + 5)(x + 1), deci f'(x) = eˣ(x + 5)(x + 1).
Răspuns
f'(x) = eˣ(x + 5)(x + 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f, în care tangenta la graficul funcției f este paralelă cu axa Ox.

Tangenta în punctul de abscisă x₀ e paralelă cu Ox ⇔ panta ei e 0 ⇔ f'(x₀) = 0.
eˣ⁰(x₀ + 5)(x₀ + 1) = 0, iar eˣ⁰ > 0, deci x₀ = −5 sau x₀ = −1.
Răspuns
x₀ = −5 sau x₀ = −1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați valorile reale ale lui a pentru care ecuația f(x) = a are exact trei soluții reale.

Semnul lui f': f' > 0 pe (−∞, −5), f' < 0 pe (−5, −1), f' > 0 pe (−1, +∞). Deci f crește strict pe (−∞, −5], scade strict pe [−5, −1] și crește strict pe [−1, +∞).
f(−5) = e⁻⁵(25 − 20 + 1) = 6e⁵, f(−1) = e⁻¹(1 − 4 + 1) = −2e; limx→−∞ f(x) = 0 (eˣ tinde la 0 mai repede decât crește polinomul), limx→+∞ f(x) = +∞.
f e continuă, deci ia valorile: (0, 6e⁵] pe (−∞, −5], [−2e, 6e⁵] pe [−5, −1] și [−2e, +∞) pe [−1, +∞), fiecare valoare cel mult o dată pe fiecare interval.
Ecuația are câte o soluție pe fiecare dintre cele trei intervale exact când a ∈ (0, 6e⁵).
Răspuns
a ∈ (0, 6e⁵)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(1,+∞)→R, f(x) = 1ln x.