Rezolvare BAC 2020 Matematică M1 mate-info, sesiunea I (vară)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea I (vară) 2020 (Proba E.c) — iunie 2020 (calendar decalat, pandemie)): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul z = (1 − i√2)(1 + i√2) este natural, unde i² = −1.

Folosim (a − b)(a + b) = a² − b²: z = 1² − (i√2)² = 1 − 2i².
Cum i² = −1, z = 1 + 2 = 3, care este număr natural.
Răspuns
z = 3 ∈ N
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x + a, unde a este număr real. Determinați numărul real a, știind că f(x) + f(1 − x) = 7, pentru orice număr real x.

f(x) + f(1 − x) = 3x + a + 3(1 − x) + a = 2a + 3, pentru orice x real.
Din 2a + 3 = 7 obținem a = 2.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5ˣ + 5⁻ˣ = 2.

Înmulțim cu 5ˣ > 0: 5²ˣ − 2·5ˣ + 1 = 0, adică (5ˣ − 1)² = 0.
Deci 5ˣ = 1, de unde x = 0.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Se consideră mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5}. Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale lui A, care îl conțin pe 1.

O astfel de submulțime conține pe 1 și încă două elemente alese din {2, 3, 4, 5}.
Numărul lor este C(4,2) = 4·32 = 6.
Răspuns
6 submulțimi
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctul M(−4,4). Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul M și este perpendiculară pe dreapta OM.

Panta lui OM: m_OM = 4 − 0−4 − 0 = −1.
d ⊥ OM, deci m_OM·m_d = −1, de unde m_d = 1.
Ecuația: y − 4 = 1·(x + 4), adică y = x + 8.
Răspuns
d: y = x + 8
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Triunghiul ABC este dreptunghic în A și sin B = cos B. Arătați că triunghiul ABC este isoscel.

În triunghiul dreptunghic în A: sin B = ACBC și cos B = ABBC.
Din sin B = cos B obținem ACBC = ABBC, deci AB = AC și triunghiul ABC este isoscel.
Răspuns
AB = AC
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = aa+1a+2a²+1a²+2a²+3124, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = −1.

A(0) = 012123124.
det(A(0)) = 012123124 = 0 + 3 + 4 − 4 − 0 − 4 = −1.
Răspuns
det(A(0)) = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că, pentru orice număr real a, matricea A(a) este inversabilă.

Scădem prima coloană din a doua și din a treia: det(A(a)) = a12a²+112113.
Scădem linia a doua din prima: prima linie devine (a − a² − 1, 0, 0), deci det(A(a)) = (a − a² − 1)·(1·3 − 2·1) = −(a² − a + 1).
a² − a + 1 are Δ = 1 − 4 = −3 < 0, deci a² − a + 1 > 0 pentru orice a real; atunci det(A(a)) ≠ 0 și A(a) este inversabilă.
Răspuns
det(A(a)) = −(a² − a + 1) ≠ 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele întregi a pentru care inversa matricei A(a) are toate elementele numere întregi.

Pentru a întreg, A(a) are elemente întregi, deci det(A(a)) e întreg. Dacă și A⁻¹ are elemente întregi, det(A⁻¹) e întreg, iar det(A(a))·det(A⁻¹) = 1, deci det(A(a)) divide 1.
Cum det(A(a)) = −(a² − a + 1) < 0, rămâne det(A(a)) = −1, adică a² − a + 1 = 1, a(a − 1) = 0.
a = 0 sau a = 1; atunci A⁻¹ = (1det(A(a)))·A* = −A*, care are elemente întregi, deci ambele valori convin.
Răspuns
a ∈ {0, 1}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea A = [1, +∞) se definește legea de compoziție x∗y = (12)·3√x³y³ − x³ − y³ + 9.

a) (5p) Arătați că 1∗2020 = 1.

1∗2020 = (12)·3√2020³ − 1 − 2020³ + 9 = (12)·∛8.
∛8 = 2, deci 1∗2020 = (12)·2 = 1.
Răspuns
1∗2020 = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că x∗y = 3√(18)(x³ − 1)(y³ − 1) + 1, pentru orice x, y ∈ A.

x³y³ − x³ − y³ + 9 = (x³y³ − x³ − y³ + 1) + 8 = (x³ − 1)(y³ − 1) + 8.
Cum 12 = 3√18, x∗y = 3√(18)·((x³ − 1)(y³ − 1) + 8) = 3√(18)(x³ − 1)(y³ − 1) + 1.
Răspuns
x∗y = 3√(18)(x³ − 1)(y³ − 1) + 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați x ∈ A pentru care x∗x = x.

Din b): x∗x = 3√(18)(x³ − 1)² + 1, deci ecuația devine (18)(x³ − 1)² + 1 = x³.
Echivalent (x³ − 1)² = 8(x³ − 1), adică (x³ − 1)(x³ − 9) = 0.
x³ = 1 sau x³ = 9, deci x = 1 sau x = ∛9; ambele sunt în [1, +∞), deci convin.
Răspuns
x ∈ {1, ∛9}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(2,+∞)→R, f(x) = 1x − 2 + ln(x − 1x).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = −3x + 4x(x − 1)(x − 2)², x ∈ (2,+∞).

ln(x − 1x) = ln(x − 1) − ln x, deci f'(x) = −1(x − 2)² + 1x − 1 − 1x = −1(x − 2)² + 1x(x − 1).
Aducem la numitorul comun x(x − 1)(x − 2)²: numărătorul este −x(x − 1) + (x − 2)² = −x² + x + x² − 4x + 4 = −3x + 4.
Deci f'(x) = −3x + 4x(x − 1)(x − 2)².
Răspuns
f'(x) = −3x + 4x(x − 1)(x − 2)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ 1x − 2 = 0 și limx→+∞ ln(x − 1x) = limx→+∞ ln(1 − 1x) = ln1 = 0.
Deci limx→+∞ f(x) = 0, iar dreapta y = 0 este asimptotă orizontală spre +∞.
Răspuns
y = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 1x − 2 > ln(xx − 1), pentru orice x ∈ (2,+∞).

Pentru x > 2: −3x + 4 < 0, iar numitorul e pozitiv, deci f'(x) < 0 și f este strict descrescătoare pe (2,+∞).
Cum limx→+∞ f(x) = 0 și f scade strict, f(x) > 0 pentru orice x ∈ (2,+∞).
1x − 2 + ln(x − 1x) > 0 ⇔ 1x − 2 > −ln(x − 1x) = ln(xx − 1).
Răspuns
1x − 2 > ln(xx − 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = x√(x³ + 1).