Acasă / Subiecte rezolvate / 2021 / Rezolvare M1 mate-info

Rezolvare BAC 2021 Matematică M1 mate-info, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din simularea 2021 (Simularea națională a clasei a XII-a — 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Rezolvă-l cronometrat, cu notă Subiectul original (PDF) Baremul oficial (PDF)

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră progresia geometrică (bₙ), n ≥ 1, cu b₂ = 2 și b₄ = 4. Determinați b₆.
  • Într-o progresie geometrică, b₄ este media geometrică a lui b₂ și b₆: b₄² = b₂·b₆.
  • 16 = 2·b₆, deci b₆ = 8.

  • Răspuns

    b₆ = 8

  • Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² − 2x + m, unde m este număr real. Determinați numărul real m pentru care vârful parabolei asociate funcției f este situat pe dreapta y = 3x.
  • xV = −b2a = 22 = 1, iar yV = f(1) = 1 − 2 + m = m − 1.
  • Vârful e pe dreapta y = 3x dacă yV = 3xV: m − 1 = 3, deci m = 4.

  • Răspuns

    m = 4

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4ˣ − 2x+1 − 3 = 0.
  • 4ˣ = (2ˣ)² și 2x+1 = 2·2ˣ; notăm t = 2ˣ > 0: t² − 2t − 3 = 0.
  • (t + 1)(t − 3) = 0, deci t = −1 (nu convine, t > 0) sau t = 3.
  • 2ˣ = 3, deci x = log₂3.

  • Răspuns

    x = log₂3

  • Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați numărul de numere naturale de trei cifre care au exact două cifre egale.
  • Numerele sunt de forma aab, aba sau baa, unde a și b sunt cifre distincte (prima cifră nenulă).
  • aab și aba: a ∈ {1, …, 9} (9 variante), b ≠ a (9 variante): câte 9·9 = 81 de numere.
  • baa: b ∈ {1, …, 9} (9 variante), a ≠ b, poate fi 0 (9 variante): tot 81 de numere.
  • Total: 3·81 = 243.

  • Răspuns

    243 de numere

  • Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) Segmentele AB și A'B' au același mijloc. Demonstrați că AB' + BA' = 0 (vectori).
  • Fie M mijlocul comun: AM = MB și A'M = MB' (vectori).
  • AB' + BA' = (AM + MB') + (BM + MA') = (AM + BM) + (MB' + MA').
  • AM + BM = MB + BM = 0 și MB' + MA' = A'M + MA' = 0, deci suma este vectorul nul.

  • Răspuns

    AB' + BA' = 0

  • Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Demonstrați că, în orice triunghi ABC, are loc relația AB + AC + BC = 2R(sin A + sin B + sin C), unde R este raza cercului circumscris triunghiului.
  • Teorema sinusurilor: BCsin(A) = ACsin(B) = ABsin(C) = 2R.
  • Deci BC = 2R·sin A, AC = 2R·sin B și AB = 2R·sin C.
  • Adunând: AB + AC + BC = 2R(sin A + sin B + sin C).

  • Răspuns

    relația este adevărată (teorema sinusurilor)

  • Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră sistemul de ecuații ax + (a+1)y + (a+2)z = abx + (b+1)y + (b+2)z = by + z = 1 și matricea X(a,b) = aa+1a+2bb+1b+2011, unde a și b sunt numere reale.

a) (5p) Arătați că det(X(0,1)) = 1.
  • X(0,1) = 012123011.
  • det(X(0,1)) = 012123011 = 0 + 0 + 2 − 0 − 0 − 1 = 1.

  • Răspuns

    det(X(0,1)) = 1

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că, pentru orice numere reale distincte a și b, sistemul de ecuații are soluție unică.
  • X(a,b) e matricea sistemului. Scădem coloana a doua din a treia și coloana întâi din a doua: coloanele devin (a, b, 0), (1, 1, 1) și (1, 1, 0).
  • det(X(a,b)) = a11b11010 = −(a − b) = b − a.
  • Pentru a ≠ b, determinantul sistemului e nenul, deci sistemul este de tip Cramer și are soluție unică.

  • Răspuns

    det(X(a,b)) = b − a ≠ 0, deci soluție unică

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, dacă (x₀, y₀, z₀) este soluție a sistemului de ecuații, atunci y₀² − z₀² − 2ax₀ = 3, pentru orice număr real a.
  • Dacă a ≠ b, soluția unică este (0, 2, −1) (verificare: (a+1)·2 − (a+2) = a și 2 − 1 = 1), deci y₀² − z₀² − 2ax₀ = 4 − 1 − 0 = 3.
  • Dacă a = b, primele două ecuații coincid. Notăm x₀ = α; cu z = 1 − y, prima ecuație devine aα + (a+1)y + (a+2)(1 − y) = a, adică y = 2 + aα, iar z = −1 − aα.
  • y₀² − z₀² − 2ax₀ = (2 + aα)² − (1 + aα)² − 2aα = 4 + 4aα − 1 − 2aα − 2aα = 3.

  • Răspuns

    y₀² − z₀² − 2ax₀ = 3

  • Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = (2, +∞) se definește legea de compoziție asociativă x∗y = (x − 1)log₃[y − 1] + 1.

a) (5p) Arătați că 5∗10 = 17.
  • 5∗10 = (5 − 1)log₃9 + 1 = 4² + 1 (fiindcă log₃9 = 2).
  • 4² + 1 = 17.

  • Răspuns

    17

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „∗”.
  • x∗e = x ⇔ (x − 1)log₃[e − 1] = x − 1, pentru orice x ∈ M; cum x − 1 > 1, exponentul trebuie să fie 1: log₃(e − 1) = 1, deci e = 4 ∈ M.
  • Verificare: 4∗x = 3log₃[x − 1] + 1 = x − 1 + 1 = x, pentru orice x ∈ M.
  • Deci e = 4 este elementul neutru.

  • Răspuns

    e = 4

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați x ∈ M pentru care x∗x∗x = x∗x.
  • Notăm t = log₃(x − 1). x∗x = (x − 1)ᵗ + 1, iar x∗x∗x = (x∗x)∗x = ((x − 1)ᵗ)ᵗ + 1 = (x − 1)t² + 1.
  • Ecuația devine (x − 1)t² = (x − 1)ᵗ; cum x − 1 > 1, exponenții sunt egali: t² = t, deci t = 0 sau t = 1.
  • t = 0 dă x = 2, care nu aparține lui M; t = 1 dă x − 1 = 3, deci x = 4.

  • Răspuns

    x = 4

  • Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = √e²ˣ + x⁴ + 2.

Vezi graficul funcției f
−4−3−2−112341,61,71,81,9xy

a) (5p) Arătați că f'(x) = e²ˣ + 2x³√(e²ˣ + x⁴ + 2), x∈R.
  • (√u)' = u'/(2√u), cu u = e²ˣ + x⁴ + 2 și u' = 2e²ˣ + 4x³.
  • f'(x) = 2e²ˣ + 4x³2√(e²ˣ + x⁴ + 2) = e²ˣ + 2x³√(e²ˣ + x⁴ + 2).

  • Răspuns

    f'(x) = e²ˣ + 2x³√(e²ˣ + x⁴ + 2)

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că tangenta la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f, este paralelă cu dreapta de ecuație x − √3y = 0.
  • Panta tangentei: f'(0) = 1 + 0√(1 + 0 + 2) = 1√3.
  • Dreapta x − √3y = 0 se scrie y = x√3, deci are panta 1√3.
  • Pantele sunt egale, deci tangenta e paralelă cu dreapta dată (tangenta trece prin (0, √3), care nu e pe dreaptă).

  • Răspuns

    ambele au panta 1√3

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că funcția f are un unic punct de extrem.
  • Semnul lui f' e semnul lui g(x) = e²ˣ + 2x³. g'(x) = 2e²ˣ + 6x² > 0, deci g e strict crescătoare.
  • limx→−∞ g(x) = −∞, limx→+∞ g(x) = +∞ și g e continuă, deci există un unic c ∈ R cu g(c) = 0.
  • f'(x) < 0 pe (−∞, c) și f'(x) > 0 pe (c, +∞): f scade strict pe (−∞, c] și crește strict pe [c, +∞).
  • Deci f are un unic punct de extrem, x = c (punct de minim).

  • Răspuns

    unic punct de extrem (minim) în x = c, unde e²ᶜ + 2c³ = 0

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (12)·(1x² + 1 − 1x² + 3).

Vezi graficul funcției f
−4−3−2−112340,050,10,150,20,250,3xy

a) (5p) Arătați că ∫[0,1] (2f(x) + 1x² + 3) dx = π4.
  • 2f(x) + 1x² + 3 = 1x² + 1 − 1x² + 3 + 1x² + 3 = 1x² + 1.
  • ∫[0,1] 1x² + 1 dx = [arctg x] de la 0 la 1 = arctg 1 − arctg 0 = π4.

  • Răspuns

    π4

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că orice primitivă F a funcției f este strict crescătoare.
  • F'(x) = f(x) = (12)·(x² + 3) − (x² + 1)(x² + 1)(x² + 3) = 1(x² + 1)(x² + 3).
  • F'(x) > 0 pentru orice x real, deci F este strict crescătoare.

  • Răspuns

    F'(x) = 1(x² + 1)(x² + 3) > 0

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că, pentru orice numere reale a și b, cu a < b, ∫[a,b] f(x)F²(x) dx > 0, pentru orice primitivă F a funcției f.
  • f(x)F²(x) = F'(x)·F²(x) = (F³(x)3)', deci ∫[a,b] f(x)F²(x) dx = [F³(x)3] de la a la b = F³(b) − F³(a)3.
  • F e strict crescătoare (punctul b), deci a < b implică F(a) < F(b).
  • Funcția t ↦ t³ e strict crescătoare, deci F³(a) < F³(b) și integrala este strict pozitivă.

  • Răspuns

    ∫[a,b] f(x)F²(x) dx = F³(b) − F³(a)3 > 0

  • Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Acum încearcă singur

Simularea de pe site îți dă un subiect complet și te corectează pe barem; grilele pe capitole îți arată exact unde mai ai de lucru.

Simulare BAC Exersează pe capitole

Alte rezolvări M1 mate-info

Toate subiectele oficiale, din 2013 încoace →