Rezolvare BAC 2018 Matematică M1 mate-info, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din sesiunea specială 2018 (Proba E.c) — sesiunea specială 2018): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Se consideră numărul complex z = 1 − 2i. Arătați că z² − 2z + 5 = 0.

z² = (1 − 2i)² = 1 − 4i + 4i² = 1 − 4i − 4 = −3 − 4i.
2z = 2 − 4i, deci z² − 2z + 5 = −3 − 4i − 2 + 4i + 5 = 0.
Răspuns
z² − 2z + 5 = 0
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Determinați numerele reale a și b, pentru care graficele funcțiilor f:R→R, f(x) = 2x + a și g:R→R, g(x) = bx + 2 se intersectează în punctul M(2,8).

M aparține graficului lui f: f(2) = 8, adică 4 + a = 8, deci a = 4.
M aparține graficului lui g: g(2) = 8, adică 2b + 2 = 8, deci b = 3.
Răspuns
a = 4, b = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(4x + 5) = 1 + log₃(x + 3).

1 + log₃(x + 3) = log₃3 + log₃(x + 3) = log₃(3(x + 3)), deci ecuația devine log₃(4x + 5) = log₃(3x + 9).
Logaritmul e injectiv: 4x + 5 = 3x + 9, deci x = 4.
Verificare: 4x + 5 = 21 > 0 și x + 3 = 7 > 0, deci x = 4 convine.
Răspuns
x = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifrele pare.

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Cifra zecilor poate fi 2, 4, 6 sau 8 (4 variante), iar cifra unităților 0, 2, 4, 6 sau 8 (5 variante): 4·5 = 20 de cazuri favorabile.
p = 2090 = 29.
Răspuns
p = 29
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,2), B(4,1) și C(0,8). Determinați lungimea segmentului CM, știind că M este simetricul punctului A față de punctul B.

B este mijlocul segmentului AM: x_M = 2·4 − 2 = 6 și y_M = 2·1 − 2 = 0, deci M(6,0).
CM = √(6 − 0)² + (0 − 8)² = √36 + 64 = √100 = 10.
Răspuns
CM = 10
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați aria paralelogramului ABCD, știind că AB = 6, AC = 10 și m(∢BAC) = π6.

Diagonala AC împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, deci aria lui ABCD = 2·aria(ABC).
Aria(ABCD) = 2·(AB·AC·sin(∢BAC))2 = 6·10·sin(π6) = 60·(12) = 30.
Răspuns
30
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea M(a) = 111a+1−1111−a și sistemul de ecuații x + y + z = 2(a+1)x − y + z = 0x + y − az = 1, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(M(−1)) = 0.

M(−1) = 1110−11111.
det(M(−1)) = 1110−11111 = −1 + 1 + 0 − (−1) − 1 − 0 = 0 (de altfel, prima și a treia linie sunt egale).
Răspuns
det(M(−1)) = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale a pentru care det(M(a)) = 0.

Dezvoltând după prima linie: det(M(a)) = 1·(a − 1) − 1·(−a(a + 1) − 1) + 1·((a + 1) + 1).
det(M(a)) = a − 1 + a² + a + 1 + a + 2 = a² + 3a + 2 = (a + 1)(a + 2).
(a + 1)(a + 2) = 0 ⇔ a = −2 sau a = −1.
Răspuns
a ∈ {−2, −1}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale a, știind că sistemul are soluție unică (x₀, y₀, z₀) și 2x₀ + y₀z₀ = 0.

Soluția e unică ⇔ det(M(a)) ≠ 0 ⇔ a ∈ R∖{−2, −1}.
Scăzând a treia ecuație din prima: (a + 1)z = 1, deci z₀ = 1a + 1. Adunând primele două: (a + 2)x + 2z = 2, deci x₀ = 2a(a + 1)(a + 2).
y₀ = 2 − x₀ − z₀ = 2a² + 3a + 2(a + 1)(a + 2).
2x₀ + y₀z₀ = 4a(a + 1)(a + 2) + 2a² + 3a + 2(a + 1)²(a + 2) = 0 ⇔ 4a(a + 1) + 2a² + 3a + 2 = 0 ⇔ 6a² + 7a + 2 = 0.
Δ = 49 − 48 = 1, deci a = −23 sau a = −12; ambele sunt diferite de −2 și −1, deci convin.
Răspuns
a ∈ {−23, −12}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y = (110)xy − (x + y) + 20.

a) (5p) Demonstrați că x∗y = (110)(x − 10)(y − 10) + 10, pentru orice numere reale x și y.

x∗y = (110)xy − x − y + 10 + 10 = (110)(xy − 10x − 10y + 100) + 10.
xy − 10x − 10y + 100 = x(y − 10) − 10(y − 10) = (x − 10)(y − 10), deci x∗y = (110)(x − 10)(y − 10) + 10.
Răspuns
x∗y = (110)(x − 10)(y − 10) + 10
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați valorile reale ale lui x pentru care x∗x ≤ 10110.

x∗x = (110)(x − 10)² + 10.
(110)(x − 10)² + 10 ≤ 10110 ⇔ (110)(x − 10)² ≤ 110 ⇔ (x − 10)² ≤ 1.
−1 ≤ x − 10 ≤ 1, deci x ∈ [9, 11].
Răspuns
x ∈ [9, 11]
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Calculați log₂1 ∗ log₂2 ∗ log₂3 ∗ … ∗ log₂2018.

Din a): x∗10 = (110)(x − 10)·0 + 10 = 10 și, la fel, 10∗x = 10, pentru orice x real (10 este element absorbant).
Printre factori se află log₂1024 = 10.
Folosind asociativitatea: (log₂1 ∗ … ∗ log₂1023) ∗ 10 ∗ (log₂1025 ∗ … ∗ log₂2018) = 10 ∗ (log₂1025 ∗ … ∗ log₂2018) = 10.
Răspuns
10
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−1,+∞)→R, f(x) = 2x³ − 3x² + 6x − 6ln(x + 1).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 6x³x + 1, x∈(−1,+∞).

f'(x) = 6x² − 6x + 6 − 6x + 1.
Aducând la același numitor: f'(x) = 6x³ + 6x² − 6x² − 6x + 6x + 6 − 6x + 1 = 6x³x + 1.
Răspuns
f'(x) = 6x³x + 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că valoarea minimă a funcției f este 0.

x + 1 > 0, deci semnul lui f' este semnul lui x³: f'(x) = 0 ⇔ x = 0.
f'(x) ≤ 0 pe (−1, 0], deci f e descrescătoare pe (−1, 0]; f'(x) ≥ 0 pe [0, +∞), deci f e crescătoare pe [0, +∞).
Prin urmare f(x) ≥ f(0) pentru orice x ∈ (−1, +∞), iar f(0) = 0 − 6ln1 = 0, deci valoarea minimă a lui f este 0.
Răspuns
minimul lui f este f(0) = 0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Calculați limx→0 √(f(x))x.

f(0) = 0, deci limx→0 f(x)x² e de forma 00; cu regula lui l'Hôpital: limx→0 f'(x)2x = limx→0 6x³2x(x + 1) = limx→0 3x²x + 1 = 0.
|√(f(x))x| = √f(x)x² (f(x) ≥ 0 din b)), iar √f(x)x² → √0 = 0.
Deci limx→0 √(f(x))x = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² + x + 1)eˣ.