Rezolvare BAC 2025 Matematică M1 mate-info, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_mate-info din simularea 2025 (Simularea națională a clasei a XII-a — 25.03.2025): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul b₁ al progresiei geometrice (bₙ), în care b₃ = 40 și b₄ = 80.

Rația: q = b₄b₃ = 2.
b₃ = b₁·q², deci b₁ = 404 = 10.
Răspuns
b₁ = 10
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Determinați mulțimea numerelor reale m pentru care graficul funcției f:R→R, f(x) = x² − 2x + m intersectează axa Ox în două puncte distincte.

Graficul taie Ox în două puncte distincte ⇔ ecuația f(x) = 0 are două soluții reale distincte ⇔ Δ = 4 − 4m > 0.
m∈(−∞, 1).
Răspuns
m∈(−∞, 1)
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3ˣ + 2·3ˣ⁺¹ = 63.

2·3ˣ⁺¹ = 6·3ˣ, deci ecuația devine 7·3ˣ = 63, adică 3ˣ = 9.
x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre, n² să fie număr natural de trei cifre.

Numerele naturale de două cifre sunt 90: 90 de cazuri posibile.
100 ≤ n² ≤ 999 ⇔ 10 ≤ n ≤ 31 (31² = 961, 32² = 1024): 22 de cazuri favorabile.
p = 2290 = 1145.
Răspuns
p = 1145
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 2), B(7, 4) și C, astfel încât AB = 2AC (vectori). Determinați coordonatele punctului D pentru care OD = CB (vectori).

AB = 2AC înseamnă că C e mijlocul segmentului AB, deci C(4, 3) și CB = (12)AB.
AB are coordonatele (6, 2), deci CB are (3, 1).
OD = CB, deci D(3, 1).
Răspuns
D(3, 1)
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC, cu AB = 10, înălțimea AD = 8 și distanța de la punctul D la dreapta AC egală cu 4√2. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 56.

În triunghiul ADB, dreptunghic în D: BD = √100 − 64 = 6.
În triunghiul ADC, dreptunghic în D, distanța de la D la AC e înălțimea pe ipotenuză: AD·DCAC = 4√2. Cu DC = c: 8c = 4√2·√64 + c², deci 64c² = 32(64 + c²) și c = 8.
BC = BD + DC = 14, iar aria = BC·AD2 = 14·82 = 56.
Răspuns
Aria = 56
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = a1−a31−21−3a și sistemul de ecuații ax + y − az = 13x + y − 2z = 1x − 3y + az = −3, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = −2.

A(0) = 01031−21−30.
det(A(0)) = 0 − 2 + 0 − 0 − 0 − 0 = −2.
Răspuns
det(A(0)) = −2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul are soluție unică.

det(A(a)) = a(a − 6) − (3a + 2) − a·(−10) = a² + a − 2 = (a + 2)(a − 1).
Sistemul are soluție unică ⇔ det(A(a)) ≠ 0 ⇔ a∈R∖{−2, 1}.
Răspuns
a∈R∖{−2, 1}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Pentru a = 1, determinați soluțiile (x₁, y₁, z₁) și (x₂, y₂, z₂) ale sistemului de ecuații pentru care y₁ = x₂ și z₁ = y₂.

Pentru a = 1 sistemul e compatibil nedeterminat, cu soluțiile (α, α + 1, 2α), α∈R (se verifică în toate trei ecuațiile).
Cu (x₁, y₁, z₁) = (α₁, α₁ + 1, 2α₁) și (x₂, y₂, z₂) = (α₂, α₂ + 1, 2α₂): α₁ + 1 = α₂ și 2α₁ = α₂ + 1.
2α₁ = α₁ + 2, deci α₁ = 2 și α₂ = 3.
Soluțiile: (2, 3, 4) și (3, 4, 6).
Răspuns
(2, 3, 4) și (3, 4, 6)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea M = (0, +∞) se definește legea de compoziție x ∗ y = √xy + 1√(xy) + x + y2 − 2.

a) (5p) Arătați că 1 ∗ 4 = 3.

1 ∗ 4 = √4 + 1√4 + 1 + 42 − 2 = 2 + 12 + 52 − 2 = 3.
Răspuns
1 ∗ 4 = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați x∈M pentru care x ∗ x = 1.

x ∗ x = x + 1x + x − 2 = 2x² − 2x + 1x.
2x² − 2x + 1x = 1 ⇔ 2x² − 3x + 1 = 0, deci x = 12 sau x = 1, care convin.
Răspuns
x = 12 sau x = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că mulțimea [1, +∞) este parte stabilă a mulțimii M în raport cu legea de compoziție „∗”.

√xy + 1√(xy) − 2 = (√(xy) − 1)²√(xy) ≥ 0, deci x ∗ y = (√(xy) − 1)²√(xy) + x + y2 ≥ x + y2.
Pentru x, y∈[1, +∞): x + y2 ≥ 1, deci x ∗ y∈[1, +∞).
Deci [1, +∞) e parte stabilă a lui M în raport cu „∗”.
Răspuns
x ∗ y ≥ x + y2 ≥ 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x − 2x + 2 + ln(x + 2x).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 4(x − 1)x(x + 2)², x∈(0, +∞).

(2x − 2x + 2)' = 2(x + 2) − (2x − 2)(x + 2)² = 6(x + 2)².
ln(x + 2x) = ln(x + 2) − ln x, cu derivata 1x + 2 − 1x = −2x(x + 2).
f'(x) = 6(x + 2)² − 2x(x + 2) = 6x − 2(x + 2)x(x + 2)² = 4(x − 1)x(x + 2)².
Răspuns
f'(x) = 4(x − 1)x(x + 2)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f.

limx→+∞ 2x − 2x + 2 = 2 și limx→+∞ ln(x + 2x) = ln1 = 0.
limx→+∞ f(x) = 2, deci dreapta y = 2 e asimptotă orizontală spre +∞.
Răspuns
y = 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele naturale n pentru care ecuația f(x) = n nu are soluții.

f'(x) = 0 ⇔ x = 1; f e descrescătoare pe (0, 1] și crescătoare pe [1, +∞).
limx→0 f(x) = +∞, f(1) = 0 + ln3 = ln3, iar pe [1, +∞) f crește spre 2, fără să-l atingă.
f e continuă, deci mulțimea valorilor lui f este [ln3, +∞): ecuația f(x) = n nu are soluții ⇔ n < ln3.
Cum 1 < ln3 < 2, numerele naturale căutate sunt n = 0 și n = 1.
Răspuns
n = 0 și n = 1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x²2x² + 1.