Rezolvare BAC 2025 Matematică M2 tehnologic, simularea

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din simularea 2025 (Simularea națională a clasei a XII-a — 25.03.2025): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați termenul a₃ al progresiei aritmetice (aₙ), în care a₁ = 3 și a₂ = 10.

Rația: r = a₂ − a₁ = 7.
a₃ = a₂ + r = 10 + 7 = 17.
Răspuns
a₃ = 17
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = 3x − 4 și g:R→R, g(x) = x + 2. Determinați numărul real a pentru care f(a) = a + g(2).

g(2) = 4 și f(a) = 3a − 4.
3a − 4 = a + 4, de unde a = 4.
Răspuns
a = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₃(10x − 1) = 2.

10x − 1 = 3², deci 10x − 1 = 9 și x = 1.
Pentru x = 1, 10x − 1 = 9 > 0, deci soluția convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) După o ieftinire cu 45%, un produs costă 110 lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

Dacă x e prețul inițial: x − (45100)x = 110, adică (55100)x = 110.
x = 200 de lei.
Răspuns
200 de lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0, 4), B(0, −1), C(8, 3). Arătați că AB = AM, unde punctul M este mijlocul segmentului BC.

AB = 4 − (−1) = 5 (punctele sunt pe axa Oy).
M, mijlocul lui BC, este M(4, 1), deci AM = √4² + 3² = 5.
Deci AB = AM.
Răspuns
AB = AM = 5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AB = 6 și AC = 8. Arătați că sin C = 35.

BC = √36 + 64 = 10.
sin C = ABBC = 610 = 35.
Răspuns
sin C = 35
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = a3aa2a+3, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 2.

A(2) = 2627.
det(A(2)) = 2·7 − 2·6 = 14 − 12 = 2.
Răspuns
det(A(2)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul real x pentru care A(1)·A(1) + 2I₂ = xA(1).

A(1) = 1315, deci A(1)·A(1) + 2I₂ = 418628 + 2002 = 618630 = 6A(1).
xA(1) = 6A(1), deci x = 6.
Răspuns
x = 6
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați matricea X∈M₂(R) pentru care A(2)·X·A(2) = A(0).

det(A(2)) ≠ 0, deci X = (A(2))⁻¹·A(0)·(A(2))⁻¹, cu A(0) = 0003.
(A(2))⁻¹ = (12)·7−6−22 = 72−3−11.
(A(2))⁻¹·A(0) = 0−903, iar înmulțind la dreapta cu (A(2))⁻¹: X = 9−9−33.
Răspuns
X = 9−9−33
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x ∗ y = xy − 2x − 2y + 6.

a) (5p) Arătați că 0 ∗ 2 = 2.

0 ∗ 2 = 0·2 − 2·0 − 2·2 + 6 = 0 − 0 − 4 + 6 = 2.
Răspuns
0 ∗ 2 = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∗ (2x) = 6.

x ∗ (2x) = 2x² − 2x − 4x + 6 = 2x² − 6x + 6.
2x² − 6x + 6 = 6 ⇔ 2x(x − 3) = 0, deci x = 0 sau x = 3.
Răspuns
x = 0 sau x = 3
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Știind că e = 3 este elementul neutru al legii de compoziție „∗”, determinați numărul real x al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „∗” este 4.

Simetricul lui x e 4 ⇔ x ∗ 4 = 4 ∗ x = 3.
x ∗ 4 = 4x − 2x − 8 + 6 = 2x − 2 = 3, deci x = 52 (legea e comutativă, deci și 4 ∗ x = 3).
Răspuns
x = 52
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = 2x² − 2 − ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (2x − 1)(2x + 1)x, x∈(0, +∞).

f'(x) = 4x − 1x = 4x² − 1x = (2x − 1)(2x + 1)x.
Răspuns
f'(x) = (2x − 1)(2x + 1)x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→1 f(x) + ln x3x − 3 = 43.

f(x) + ln x = 2x² − 2 = 2(x − 1)(x + 1), iar 3x − 3 = 3(x − 1).
Simplificând cu x − 1: limx→1 2(x + 1)3 = 43.
Răspuns
43
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că 4x² − 12 ≥ ln(2x), pentru orice x∈(0, +∞).

f'(x) = 0 ⇔ x = 12; f e descrescătoare pe (0, 12] și crescătoare pe [12, +∞), deci f(x) ≥ f(12) pentru orice x > 0.
f(12) = 12 − 2 − ln(12) = −32 − ln(12).
2x² − 2 − ln x ≥ −32 − ln(12) ⇔ 2x² − 12 ≥ ln x − ln(12) = ln(2x), adică 4x² − 12 ≥ ln(2x).
Răspuns
f(x) ≥ f(12)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ + 2x + 2.