Rezolvare BAC 2024 Matematică M2 tehnologic, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2024 (Proba E.c) — 22.05.2024): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că √2·(3 + 2√2) − 3√2 + 3 = 7.

√2·(3 + 2√2) = 3√2 + 4.
3√2 + 4 − 3√2 + 3 = 7.
Răspuns
7
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 3x − 6. Determinați numărul real m pentru care f(m) = 3.

3m − 6 = 3, deci 3m = 9 și m = 3.
Răspuns
m = 3
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5⁴ˣ⁻² = 5².

Bazele sunt egale, deci 4x − 2 = 2.
4x = 4, deci x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Prețul unui obiect este 300 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 30%.

Ieftinirea: (30100)·300 = 90 de lei.
Prețul după ieftinire: 300 − 90 = 210 lei.
Răspuns
210 lei
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, 1), B(5, m) și M(3, 4). Determinați numărul real m, știind că punctul M este mijlocul segmentului AB.

Abscisa: 3 = 1 + 52 se verifică; ordonata: 4 = 1 + m2.
m = 7.
Răspuns
m = 7
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că 2(sin45° + sin30°)(sin45° − sin30°) = cos60°.

sin45° = √22, sin30° = 12 și cos60° = 12.
2((√22)² − (12)²) = 2(12 − 14) = 12 = cos60°.
Răspuns
12 = cos60°
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(x) = 1xx+10, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(0)) = 0.

A(0) = 1010.
det(A(0)) = 1·0 − 0·1 = 0.
Răspuns
det(A(0)) = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(3) + A(5) = 2A(4).

A(3) + A(5) = 1340 + 1560 = 28100.
Aceasta e 2·1450 = 2A(4).
Răspuns
A(3) + A(5) = 2A(4)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele naturale n pentru care det(A(n) + I₂) ≥ 0.

A(n) + I₂ = 2nn+11, deci det(A(n) + I₂) = 2 − n(n + 1).
2 − n(n + 1) ≥ 0 ⇔ n(n + 1) ≤ 2; cu n natural: n = 0 sau n = 1.
Răspuns
n∈{0, 1}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ − 3X² + mX − 1, unde m este număr real.

a) (5p) Arătați că f(0) = −1, pentru orice număr real m.

f(0) = 0 − 0 + m·0 − 1 = −1.
Răspuns
f(0) = −1
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că x₁ + x₂ + x₃ = 3x₁x₂x₃, pentru orice număr real m, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Din relațiile lui Viète: x₁ + x₂ + x₃ = 3 și x₁x₂x₃ = 1.
Deci x₁ + x₂ + x₃ = 3 = 3x₁x₂x₃.
Răspuns
x₁ + x₂ + x₃ = 3x₁x₂x₃
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul X − 1.

f e divizibil cu X − 1 ⇔ f(1) = 0.
f(1) = 1 − 3 + m − 1 = m − 3 = 0, deci m = 3.
Răspuns
m = 3
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xx² + 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 1 − x²(x² + 1)², x∈R.

f'(x) = (x² + 1) − x·2x(x² + 1)² = 1 − x²(x² + 1)².
Răspuns
f'(x) = 1 − x²(x² + 1)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→+∞ x·f(x) = 1.

x·f(x) = x²x² + 1 = 11 + 1/x², care tinde la 1.
Răspuns
1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

f'(x) = 0 ⇔ x = −1 sau x = 1.
f e descrescătoare pe (−∞, −1], crescătoare pe [−1, 1] și descrescătoare pe [1, +∞).
Răspuns
descrescătoare pe (−∞, −1] și [1, +∞), crescătoare pe [−1, 1]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x² + 1)eˣ.