Rezolvare BAC 2019 Matematică M2 tehnologic, modelul

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din modelul 2019 (Model de subiect pentru Bacalaureatul 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că numărul N = (4 + 3i)² + (3 − 4i)² este natural, unde i² = −1.

(4 + 3i)² = 16 + 24i + 9i² = 7 + 24i.
(3 − 4i)² = 9 − 24i + 16i² = −7 − 24i.
N = 7 + 24i − 7 − 24i = 0, care este număr natural.
Răspuns
N = 0
Recapitulează Numere complexe: teorie · grile

2. (5p) Determinați numerele reale a, știind că punctul A(a, a) aparține graficului funcției f:R→R, f(x) = 2 − x².

A(a, a) aparține graficului ⇔ f(a) = a ⇔ 2 − a² = a ⇔ a² + a − 2 = 0.
Soluțiile: a = −2 sau a = 1.
Răspuns
a = −2 sau a = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5ˣ + 5ˣ⁺¹ = 30.

5ˣ(1 + 5) = 30, deci 5ˣ = 5.
x = 1.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M = {√1, √2, √3, …, √49}, acesta să fie număr natural.

Mulțimea M are 49 de elemente, deci 49 de cazuri posibile.
√k este natural doar pentru k pătrat perfect: k ∈ {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}, deci 7 cazuri favorabile.
p = 749 = 17.
Răspuns
p = 17
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,5), B(3,5) și C(2,1). Determinați lungimea medianei din B a triunghiului ABC.

Mijlocul segmentului AC este M(2 + 22, 5 + 12) = M(2, 3).
BM = √(3 − 2)² + (5 − 3)² = √1 + 4 = √5.
Răspuns
BM = √5
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Demonstrați că (sin x + cos x)² + (sin x − cos x)² = 2, pentru orice număr real x.

(sin x + cos x)² + (sin x − cos x)² = sin²x + 2sin x cos x + cos²x + sin²x − 2sin x cos x + cos²x.
= 2(sin²x + cos²x) = 2·1 = 2, pentru orice număr real x.
Răspuns
2
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x,y) = x−yyx, unde x și y sunt numere reale.

a) (5p) Arătați că det(A(1,1)) = 2.

A(1,1) = 1−111, deci det(A(1,1)) = 1−111 = 1·1 − 1·(−1) = 1 + 1 = 2.
Răspuns
det(A(1,1)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul natural n pentru care A(n − 1, 0) + A(n + 1, 0) = A(2018, 0).

A(n − 1, 0) + A(n + 1, 0) = n−100n−1 + n+100n+1 = 2n002n.
Egalitatea cu A(2018, 0) = 2018002018 dă 2n = 2018, deci n = 1009.
Răspuns
n = 1009
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că există un număr real x pentru care A(x,1)·A(x,1) = A(a,−2).

A(x,1)·A(x,1) = x−11x·x−11x = x²−1−2x2xx²−1.
A(a,−2) = a2−2a, deci −2x = 2 și x² − 1 = a.
Obținem x = −1 și a = 1 − 1 = 0.
Răspuns
a = 0
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ − 7X² + mX − 8, unde m este număr real.

a) (5p) Arătați că f(−1) + f(1) = −30, pentru orice număr real m.

f(−1) = −1 − 7 − m − 8 = −m − 16.
f(1) = 1 − 7 + m − 8 = m − 14.
f(−1) + f(1) = −m − 16 + m − 14 = −30, pentru orice număr real m.
Răspuns
f(−1) + f(1) = −30
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la X² − 3X + 1, știind că f se divide cu X − 2.

f se divide cu X − 2 ⇔ f(2) = 0: 8 − 28 + 2m − 8 = 0, deci m = 14 și f = X³ − 7X² + 14X − 8.
Împărțim: X³ − 7X² + 14X − 8 = X(X² − 3X + 1) + (−4X² + 13X − 8), apoi −4X² + 13X − 8 = −4(X² − 3X + 1) + (X − 4).
Deci f = (X − 4)(X² − 3X + 1) + X − 4.
Răspuns
câtul X − 4, restul X − 4
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real m pentru care polinomul f are trei rădăcini reale pozitive, în progresie geometrică.

Dacă rădăcinile x₁, x₂, x₃ sunt în progresie geometrică, atunci x₁x₃ = x₂², deci x₁x₂x₃ = x₂³.
Din relațiile lui Viète, x₁x₂x₃ = 8, deci x₂³ = 8 și x₂ = 2.
f(2) = 0 ⇒ m = 14, iar f = X³ − 7X² + 14X − 8 = (X − 1)(X − 2)(X − 4): rădăcinile 1, 2, 4 sunt pozitive și în progresie geometrică (rația 2).
Răspuns
m = 14
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(−2,+∞)→R, f(x) = x² + 2x + 1x + 2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 2)², x ∈ (−2,+∞).

f'(x) = (2x + 2)(x + 2) − (x² + 2x + 1)·1(x + 2)².
Numărătorul: 2x² + 6x + 4 − x² − 2x − 1 = x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3), deci f'(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 2)².
Răspuns
f'(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 2)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f.

m = limx→+∞ f(x)x = limx→+∞ x² + 2x + 1x(x + 2) = 1.
n = limx→+∞ (f(x) − x) = limx→+∞ x² + 2x + 1 − x² − 2xx + 2 = limx→+∞ 1x + 2 = 0.
Asimptota oblică spre +∞ este dreapta y = x.
Răspuns
y = x
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că funcția f este convexă pe (−2,+∞).

f(x) = x + 1x + 2, deci f'(x) = 1 − 1(x + 2)².
f''(x) = 2(x + 2)³.
Pentru x > −2, x + 2 > 0, deci f''(x) > 0 și f este convexă pe (−2, +∞).
Răspuns
f''(x) = 2(x + 2)³ > 0, deci f e convexă
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x² + 1x.