Rezolvare BAC 2021 Matematică M2 tehnologic, sesiunea I, rezervă

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea I, rezervă 2021 (Varianta de rezervă a sesiunii din vară 2021): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (13)·(1 − 25) + 45 = 1.

1 − 25 = 35, deci (13)·(35) = 15.
15 + 45 = 55 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x − 1. Arătați că f(1)·f(3) = 5.

f(1) = 2 − 1 = 1 și f(3) = 6 − 1 = 5.
f(1)·f(3) = 1·5 = 5.
Răspuns
5
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √5x − 6 = 2.

Ridicând la pătrat: 5x − 6 = 4, deci 5x = 10 și x = 2.
Verificare: √10 − 6 = √4 = 2, deci x = 2 convine.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 25.

Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, …, 99: 90 de cazuri posibile.
Multiplii de 25 de două cifre sunt 25, 50 și 75: 3 cazuri favorabile.
p = 390 = 130.
Răspuns
p = 130
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,0), B(0,2) și C(0,−2). Determinați distanța de la punctul A la mijlocul segmentului BC.

Mijlocul lui BC are coordonatele (0 + 02, 2 − 22) = (0, 0), adică originea O.
AO = √4² + 0² = 4.
Răspuns
4
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră x ∈ (0, π2) astfel încât cos x = 14. Arătați că sin x = √154.

sin²x + cos²x = 1, deci sin²x = 1 − 116 = 1516.
Pentru x ∈ (0, π2), sin x > 0, deci sin x = √154.
Răspuns
sin x = √154
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 4−321 și B(x) = x1−1x, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det A = 10.

det A = 4−321 = 4·1 − (−3)·2 = 4 + 6 = 10.
Răspuns
det A = 10
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că 2B(5) + B(−1) = 3B(3).

B(5) = 51−15 și B(−1) = −11−1−1.
2B(5) + B(−1) = 102−210 + −11−1−1 = 93−39 = 3·31−13 = 3B(3).
Răspuns
2B(5) + B(−1) = 3B(3)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul întreg x pentru care det(A·B(x) − B(4x)) = 0.

A·B(x) = 4x+34−3x2x−12+x, iar B(4x) = 4x1−14x.
A·B(x) − B(4x) = 33−3x2x2−3x, cu determinantul 3(2 − 3x) − 2x(3 − 3x) = 6x² − 15x + 6.
6x² − 15x + 6 = 0 ⇔ 2x² − 5x + 2 = 0, cu soluțiile x = 2 și x = 12; cum x e întreg, x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x(y − 2) + y(x − 2).

a) (5p) Arătați că 2∗4 = 4.

2∗4 = 2·(4 − 2) + 4·(2 − 2) = 2·2 + 4·0 = 4.
Răspuns
2∗4 = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x∗x = 0.

x∗x = x(x − 2) + x(x − 2) = 2x(x − 2).
2x(x − 2) = 0, deci x = 0 sau x = 2.
Răspuns
x = 0 sau x = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care (x∗1)∗(x + 1) = 4.

x∗1 = x(1 − 2) + 1·(x − 2) = −x + x − 2 = −2, pentru orice x real.
(−2)∗(x + 1) = −2(x + 1 − 2) + (x + 1)(−2 − 2) = −2x + 2 − 4x − 4 = −6x − 2.
−6x − 2 = 4, deci x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 22x² + 1.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = −8x(2x² + 1)², x ∈ R.

f'(x) = 2'·(2x² + 1) − 2·(2x² + 1)'(2x² + 1)² = 0 − 2·4x(2x² + 1)².
f'(x) = −8x(2x² + 1)².
Răspuns
f'(x) = −8x(2x² + 1)²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 0, situat pe graficul funcției f.

f(0) = 21 = 2 și f'(0) = 0.
Tangenta: y − f(0) = f'(0)(x − 0), adică y = 2.
Răspuns
y = 2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că limx→+∞ (x·f(x)·ln x) = 0.

x·f(x)·ln x = 2x·ln x2x² + 1, o nedeterminare ∞/∞ când x→+∞; aplicăm regula lui l'Hôpital.
(2x·ln x)' = 2ln x + 2 și (2x² + 1)' = 4x, deci limita este limx→+∞ 2ln x + 24x, tot ∞/∞.
Încă o dată l'Hôpital: limx→+∞ 2/x4 = limx→+∞ 12x = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ + 6x + 1.