Rezolvare BAC 2022 Matematică M2 tehnologic, sesiunea a II-a (august)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea a II-a (august) 2022 (Proba E.c) — august 2022): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că 1 + 6·(12 + 13) = 6.

12 + 13 = 56, deci 6·(56) = 5.
1 + 5 = 6.
Răspuns
6
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x − 2. Arătați că f(3) − f(2) = 1.

f(3) = 1 și f(2) = 0, deci f(3) − f(2) = 1 − 0 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √3x + 1 = 2.

Ridicând la pătrat: 3x + 1 = 4, deci x = 1.
Pentru x = 1, 3x + 1 = 4 ≥ 0, deci soluția convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, numărul 10 − n să fie par.

Mulțimea A are 9 elemente: 9 cazuri posibile.
10 − n e par exact când n e par: n∈{2, 4, 6, 8}, adică 4 cazuri favorabile.
p = 49.
Răspuns
p = 49
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(a, 0) și B(a, 6), unde a este număr real. Arătați că AB = 6, pentru orice număr real a.

AB = √(a − a)² + (6 − 0)² = √6² = 6, pentru orice număr real a.
Răspuns
AB = 6
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A, cu AB = 5 și AC = 2AB. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 25.

AC = 2·5 = 10.
Aria = AB·AC2 = 5·102 = 25.
Răspuns
Aria = 25
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 7331, B = 111−1 și I₂ = 1001.

a) (5p) Arătați că det A = −2.

det A = 7·1 − 3·3 = 7 − 9 = −2.
Răspuns
det A = −2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A − 4I₂ = 3B.

A − 4I₂ = 7331 − 4004 = 333−3.
Aceasta e 3·111−1 = 3B.
Răspuns
A − 4I₂ = 3B
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați matricea X∈M₂(R) pentru care X + X·B = A.

X + X·B = X·(I₂ + B), iar I₂ + B = 2110, cu determinantul −1 ≠ 0, deci inversabilă.
(I₂ + B)⁻¹ = 011−2, deci X = A·(I₂ + B)⁻¹.
X = 7331·011−2 = 3111.
Răspuns
X = 3111
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∗ y = xy(x + y − 4).

a) (5p) Arătați că 2 ∗ 3 = 6.

2 ∗ 3 = 2·3·(2 + 3 − 4) = 6·1 = 6.
Răspuns
2 ∗ 3 = 6
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care 1 ∗ x = 4.

1 ∗ x = x(1 + x − 4) = x² − 3x.
x² − 3x − 4 = 0, de unde x = −1 sau x = 4.
Răspuns
x = −1 sau x = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care 2ˣ ∗ 2ˣ = 2³ˣ.

2ˣ ∗ 2ˣ = 2ˣ·2ˣ·(2ˣ + 2ˣ − 4) = 2²ˣ(2ˣ + 2ˣ − 4).
2²ˣ(2ˣ + 2ˣ − 4) = 2³ˣ ⇔ 2ˣ + 2ˣ − 4 = 2ˣ (împărțind la 2²ˣ > 0) ⇔ 2ˣ = 4.
x = 2.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x³ − 9x² + 3.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 3x(x − 6), x∈R.

f'(x) = 3x² − 9·2x = 3x² − 18x = 3x(x − 6).
Răspuns
f'(x) = 3x(x − 6)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați intervalele de monotonie a funcției f.

f'(x) = 0 ⇔ x = 0 sau x = 6.
Pe (−∞, 0], f'(x) ≥ 0: f crescătoare; pe [0, 6], f'(x) ≤ 0: f descrescătoare; pe [6, +∞), f'(x) ≥ 0: f crescătoare.
Răspuns
f crescătoare pe (−∞, 0] și [6, +∞), descrescătoare pe [0, 6]
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Arătați că limx→1 f'(x) − f'(1)3f(x) − xf'(x) = 23.

f'(1) = −15, deci f'(x) − f'(1) = 3x² − 18x + 15 = 3(x − 1)(x − 5).
3f(x) − xf'(x) = 3x³ − 27x² + 9 − 3x³ + 18x² = 9 − 9x² = −9(x − 1)(x + 1).
Simplificând cu x − 1: limx→1 3(x − 5)−9(x + 1) = 3·(−4)−9·2 = 23.
Răspuns
23
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x − 1)eˣ.