Rezolvare BAC 2017 Matematică M2 tehnologic, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_tehnologic din sesiunea a II-a (toamnă) 2017 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (4 − 14)·(815) = 2.

4 − 14 = 164 − 14 = 154.
(154)·(815) = 84 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Determinați numărul real m, știind că punctul A(1,5) aparține graficului funcției f:R→R, f(x) = x² + m.

A aparține graficului ⇔ f(1) = 5 ⇔ 1 + m = 5.
Deci m = 4.
Răspuns
m = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x² + x + 1 = 1.

Ridicând la pătrat: x² + x + 1 = 1 ⇔ x² + x = 0 ⇔ x(x + 1) = 0.
x = −1 sau x = 0; verificare: pentru ambele valori √1 = 1, deci convin.
Răspuns
x ∈ {−1, 0}
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, acesta să verifice egalitatea (n − 2)(n − 4) = 0.

A are 9 elemente: 9 cazuri posibile.
(n − 2)(n − 4) = 0 ⇔ n = 2 sau n = 4: 2 cazuri favorabile.
p = 29.
Răspuns
p = 29
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(0,3), N(4,3) și P(4,0). Calculați perimetrul triunghiului MNP.

MN = √4² + 0² = 4, NP = √0² + 3² = 3, MP = √4² + 3² = 5.
Perimetrul: 4 + 3 + 5 = 12.
Răspuns
12
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin²120° − cos²30° = 0.

sin120° = sin60° = √32 și cos30° = √32.
sin²120° − cos²30° = 34 − 34 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele A = 133−4 și B = 2222.

a) (5p) Arătați că det A = −13.

det A = 133−4 = 1·(−4) − 3·3 = −4 − 9 = −13.
Răspuns
−13
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A·B − B·A = 010−100.

A·B = 88−2−2 și B·A = 8−28−2.
A·B − B·A = 010−100.
Răspuns
A·B − B·A = 010−100
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale x pentru care det(B·B − xI₂) = 0, unde I₂ = 1001.

B·B = 8888, deci B·B − xI₂ = 8−x888−x.
det(B·B − xI₂) = (8 − x)² − 64 = x² − 16x.
x² − 16x = 0 ⇔ x(x − 16) = 0, deci x = 0 sau x = 16.
Răspuns
x ∈ {0, 16}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră polinomul f = X³ + 3X² − X − 3.

a) (5p) Arătați că f(1) = 0.

f(1) = 1 + 3 − 1 − 3 = 0.
Răspuns
f(1) = 0
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul X − 2.

Cu schema lui Horner pentru 2, coeficienții 1, 3, −1, −3 dau: 1; 1·2 + 3 = 5; 5·2 − 1 = 9; 9·2 − 3 = 15.
Câtul este X² + 5X + 9, iar restul este 15 (verificare: f(2) = 8 + 12 − 2 − 3 = 15).
Răspuns
câtul X² + 5X + 9, restul 15
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că x₁² + x₂² + x₃² = 11, unde x₁, x₂ și x₃ sunt rădăcinile polinomului f.

Viète: x₁ + x₂ + x₃ = −3 și x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = −1.
x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² − 2(x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁) = 9 − 2·(−1) = 11.
Răspuns
11
Recapitulează Polinoame: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = 2x³ − 6x + 4.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 6(x − 1)(x + 1), x∈R.

f'(x) = 6x² − 6.
= 6(x² − 1) = 6(x − 1)(x + 1).
Răspuns
f'(x) = 6(x − 1)(x + 1)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→1 f(x)x − 1 = 0.

f(1) = 2 − 6 + 4 = 0, deci f(x)x − 1 = f(x) − f(1)x − 1.
Limita este, prin definiția derivatei, f'(1) = 6·0·2 = 0.
Răspuns
0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 0 ≤ f(x) ≤ 8, pentru orice x∈[−1,1].

Pentru x ∈ [−1, 1]: x − 1 ≤ 0 și x + 1 ≥ 0, deci f'(x) ≤ 0 și f e descrescătoare pe [−1, 1].
f(−1) = −2 + 6 + 4 = 8 și f(1) = 0.
Deci f(1) ≤ f(x) ≤ f(−1), adică 0 ≤ f(x) ≤ 8, pentru orice x ∈ [−1, 1].
Răspuns
0 ≤ f(x) ≤ 8
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 5x.