Rezolvare BAC 2017 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea a II-a (toamnă) 2017 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2017): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați primul termen al progresiei aritmetice (aₙ), n ≥ 1, știind că a₃ = 10 și rația r = 3.

a₃ = a₁ + 2r, deci a₁ = a₃ − 2r.
a₁ = 10 − 6 = 4.
Răspuns
a₁ = 4
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Determinați numărul real m, știind că punctul A(1,3) aparține graficului funcției f:R→R, f(x) = x² − mx + 2m.

A aparține graficului ⇔ f(1) = 3 ⇔ 1 − m + 2m = 3.
1 + m = 3, deci m = 2.
Răspuns
m = 2
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4ˣ + 14 = 12.

4ˣ = 12 − 14 = 14 = 4⁻¹.
Deci x = −1.
Răspuns
x = −1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, au cifrele elemente ale mulțimii {1, 2, 3, 4}.

Numărul e par, deci cifra unităților e 2 sau 4: 2 moduri.
Pentru fiecare alegere, cifra zecilor (diferită de cea a unităților) se alege în 3 moduri.
Se pot forma 2·3 = 6 numere.
Răspuns
6 numere
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(4,2) și B(2,4). Determinați ecuația mediatoarei segmentului AB.

Mijlocul lui AB este M(3,3).
Panta lui AB: 4 − 22 − 4 = −1, deci panta mediatoarei (perpendiculară pe AB) este 1.
Mediatoarea: y − 3 = 1·(x − 3), adică y = x.
Răspuns
y = x
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului dreptunghic ABC care are catetele AB = 8 și AC = 6.

Ipotenuza: BC = √8² + 6² = √100 = 10.
Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris e mijlocul ipotenuzei, deci R = BC2 = 5.
Răspuns
R = 5
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = 12x+551, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(−2)) = −4.

A(−2) = 1151, deci det(A(−2)) = 1151 = 1 − 5 = −4.
Răspuns
−4
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(x) + A(−x) = A(2017) + A(−2017), pentru orice număr real x.

A(x) + A(−x) = 12x+551 + 1−2x+551 = 210102, oricare ar fi x.
Pentru x = 2017 obținem tot A(2017) + A(−2017) = 210102 = A(x) + A(−x).
Răspuns
A(x) + A(−x) = A(2017) + A(−2017)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numerele reale p și q, pentru care A(0)·pq = 66.

A(0)·pq = 1551·pq = p+5q5p+q.
Sistemul p+5q=65p+q=6: scăzând ecuațiile, 4q − 4p = 0, deci p = q; apoi 6p = 6, deci p = q = 1.
Răspuns
p = 1, q = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y = xy + 6x + 6y + 30.

a) (5p) Arătați că x∘y = (x + 6)(y + 6) − 6, pentru orice numere reale x și y.

x∘y = xy + 6x + 6y + 36 − 6.
= x(y + 6) + 6(y + 6) − 6 = (x + 6)(y + 6) − 6.
Răspuns
x∘y = (x + 6)(y + 6) − 6
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că e = −5 este elementul neutru al legii de compoziție „∘”.

x∘(−5) = (x + 6)(−5 + 6) − 6 = x + 6 − 6 = x.
(−5)∘x = (−5 + 6)(x + 6) − 6 = x, pentru orice număr real x, deci e = −5 este elementul neutru.
Răspuns
e = −5 este element neutru
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care x∘(−2017) = 2017∘(−6).

x∘(−2017) = (x + 6)(−2011) − 6, iar 2017∘(−6) = 2023·0 − 6 = −6.
(x + 6)(−2011) − 6 = −6 ⇔ (x + 6)(−2011) = 0 ⇔ x + 6 = 0, deci x = −6.
Răspuns
x = −6
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = 2x + ln x.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x − 2x², x∈(0,+∞).

f'(x) = (2x)' + (ln x)' = −2x² + 1x.
Aducând la același numitor: f'(x) = −2 + xx² = x − 2x².
Răspuns
f'(x) = x − 2x²
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă x = 1, situat pe graficul funcției f.

f(1) = 2 + 0 = 2 și f'(1) = 1 − 21 = −1.
Tangenta: y − f(1) = f'(1)(x − 1) ⇔ y − 2 = −(x − 1), adică y = −x + 3.
Răspuns
y = −x + 3
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că 2x + ln x ≥ 1 + ln2, pentru orice x∈(0,+∞).

f'(x) = 0 ⇔ x = 2.
Pentru x ∈ (0, 2], f'(x) ≤ 0, deci f e descrescătoare; pentru x ∈ [2, +∞), f'(x) ≥ 0, deci f e crescătoare.
Așadar f(x) ≥ f(2) = 1 + ln2 pentru orice x ∈ (0, +∞), adică 2x + ln x ≥ 1 + ln2.
Răspuns
minimul lui f este f(2) = 1 + ln2
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x² + 22x.