Rezolvare BAC 2023 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea specială 2023 (Proba E.c) — 16.05.2023): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că (√6 − 2)(√6 + 2) = 2.

(√6 − 2)(√6 + 2) = (√6)² − 2² = 6 − 4 = 2.
Răspuns
2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x² + 1. Determinați numerele reale a pentru care f(a) = 1 − a.

a² + 1 = 1 − a, deci a² + a = 0.
a = −1 sau a = 0.
Răspuns
a = −1 sau a = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log₄(x² + 4) = log₄(6x − 4).

x² + 4 = 6x − 4, deci x² − 6x + 8 = 0, cu soluțiile x = 2 și x = 4.
În ambele cazuri 6x − 4 > 0 și x² + 4 > 0, deci soluțiile convin.
Răspuns
x = 2 sau x = 4
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Determinați câte numere naturale de două cifre, cu cifra zecilor număr impar, se pot forma cu elementele mulțimii {1, 2, 3, 4, 5}.

Cifra zecilor e impară: 1, 3 sau 5, adică 3 moduri.
Cifra unităților: oricare din cele 5 cifre, deci 3·5 = 15 numere.
Răspuns
15
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(1, −5) și B(5, 5). Determinați distanța de la punctul O la mijlocul segmentului AB.

Mijlocul lui AB este M(3, 0).
OM = 3.
Răspuns
OM = 3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră triunghiul ABC, dreptunghic în A, cu AC = 6 și tg C = √3. Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 18√3.

tg C = ABAC, deci AB = 6√3.
Aria = AB·AC2 = 6√3·62 = 18√3.
Răspuns
Aria = 18√3
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele I₂ = 1001 și A(a) = 1−aa−3a3a+1, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(2)) = 5.

A(2) = −12−67.
det(A(2)) = (−1)·7 − 2·(−6) = −7 + 12 = 5.
Răspuns
det(A(2)) = 5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că A(a) − I₂ = a(A(1) − I₂), pentru orice număr real a.

A(a) − I₂ = −aa−3a3a = a·−11−33.
A(1) − I₂ = 01−34 − I₂ = −11−33, deci A(a) − I₂ = a(A(1) − I₂).
Răspuns
A(a) − I₂ = a(A(1) − I₂)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul întreg m pentru care A(m)·A(2m) = A(1).

Cu B = A(1) − I₂, din b): A(a) = I₂ + aB, iar B·B = 2B.
A(a)·A(b) = I₂ + (a + b)B + 2abB = A(a + b + 2ab), deci A(m)·A(2m) = A(4m² + 3m).
A(4m² + 3m) = A(1) ⇔ 4m² + 3m − 1 = 0, deci m = −1 sau m = 14; cum m e întreg, m = −1.
Răspuns
m = −1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x ∘ y = xy − x − y + 4.

a) (5p) Arătați că 0 ∘ 3 = 1.

0 ∘ 3 = 0 − 0 − 3 + 4 = 1.
Răspuns
0 ∘ 3 = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x ∘ x = 3x.

x ∘ x = x² − 2x + 4.
x² − 2x + 4 = 3x ⇔ x² − 5x + 4 = 0, deci x = 1 sau x = 4.
Răspuns
x = 1 sau x = 4
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real a, știind că x ∘ a = x + a, pentru orice număr real x.

xa − x − a + 4 = x + a ⇔ x(a − 2) − 2a + 4 = 0, pentru orice x real.
Deci a − 2 = 0 și −2a + 4 = 0, adică a = 2.
Răspuns
a = 2
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = eˣ(x² + 2x − 2).

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = eˣ(x² + 4x), x∈R.

f'(x) = eˣ(x² + 2x − 2) + eˣ(2x + 2) = eˣ(x² + 4x).
Răspuns
f'(x) = eˣ(x² + 4x)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Arătați că limx→+∞ f(x)f'(x) = 1.

f(x)f'(x) = x² + 2x − 2x² + 4x.
Împărțind la x²: limx→+∞ 1 + 2/x − 2/x²1 + 4/x = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că eˣ⁺⁴(x² + 2x − 2) ≤ 6, pentru orice x∈(−∞, 0].

f'(x) = 0 ⇔ x = −4 sau x = 0; f e crescătoare pe (−∞, −4] și descrescătoare pe [−4, 0].
Pe (−∞, 0], f(x) ≤ f(−4) = e⁻⁴(16 − 8 − 2) = 6e⁴.
Înmulțind cu e⁴: eˣ⁺⁴(x² + 2x − 2) ≤ 6.
Răspuns
f(x) ≤ f(−4) = 6e⁴
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:(0, +∞)→R, f(x) = x³ + 3x.