Rezolvare BAC 2019 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea a II-a (toamnă)

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea a II-a (toamnă) 2019 (Proba E.c) — sesiunea de toamnă 2019): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice (aₙ)ₙ≥₁, dacă a₁ = 2 și rația r = 2.

a₂ = a₁ + r = 4 și a₃ = a₂ + r = 6.
a₁ + a₂ + a₃ = 2 + 4 + 6 = 12.
Răspuns
12
Recapitulează Șiruri de numere reale: teorie · grile

2. (5p) Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f:R→R, f(x) = x² − 10x + 9 cu axa Ox.

Rezolvăm f(x) = 0: x² − 10x + 9 = 0, cu Δ = 100 − 36 = 64.
x = 10 ± 82, deci x = 1 sau x = 9.
Răspuns
x = 1 și x = 9
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5ˣ⁺¹ − 3·5ˣ = 2.

5ˣ⁺¹ = 5·5ˣ, deci ecuația devine 5ˣ(5 − 3) = 2, adică 2·5ˣ = 2.
5ˣ = 1 = 5⁰, deci x = 0.
Răspuns
x = 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr x din mulțimea A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, acesta să fie soluție a ecuației x² − 4x + 4 = 0.

A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile.
x² − 4x + 4 = (x − 2)² = 0 are doar soluția x = 2, care e în A: un caz favorabil.
p = 110.
Răspuns
p = 110
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) Determinați lungimea vectorului AB + AC, știind că triunghiul ABC este echilateral și AB = 2.

Regula paralelogramului: vectorul AB + AC = 2·AM (vectori), unde M este mijlocul laturii BC.
AM este înălțimea triunghiului echilateral de latură 2: AM = 2√32 = √3.
Lungimea vectorului AB + AC este 2AM = 2√3.
Răspuns
2√3
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Arătați că sin²(π2 − x) + sin²(x + π) = 1, pentru orice număr real x.

sin(π2 − x) = cos x și sin(x + π) = −sin x.
Expresia devine cos²x + (−sin x)² = cos²x + sin²x = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(a) = 1+4a−6a2a1−3a, unde a este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(1)) = 2.

A(1) = 5−62−2.
det(A(1)) = 5−62−2 = 5·(−2) − 2·(−6) = −10 + 12 = 2.
Răspuns
det(A(1)) = 2
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Demonstrați că A(a)A(b) = A(a + b + ab), pentru orice numere reale a și b.

A(a)A(b) = 1+4a−6a2a1−3a·1+4b−6b2b1−3b = 1+4a+4b+4ab−6b−6ab−6a2a+2ab+2b1−3a−3b−3ab.
Grupând: 1+4(a+b+ab)−6(a+b+ab)2(a+b+ab)1−3(a+b+ab) = A(a + b + ab).
Răspuns
A(a)A(b) = A(a + b + ab)
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați perechile de numere naturale m și n pentru care A(m)A(n) = A(2).

Din b): A(m)A(n) = A(m + n + mn), iar A(m + n + mn) = A(2) ⇔ m + n + mn = 2 (elementul 2a determină pe a).
m + n + mn + 1 = 3, adică (m + 1)(n + 1) = 3.
Cum m, n sunt naturale, m + 1 și n + 1 sunt 1 și 3 (în orice ordine): m = 2, n = 0 sau m = 0, n = 2.
Răspuns
(m, n) ∈ {(0, 2), (2, 0)}
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y = 2xy − 2x − 2y + 3.

a) (5p) Arătați că x∘y = 2(x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice numere reale x și y.

x∘y = 2xy − 2x − 2y + 2 + 1 = 2x(y − 1) − 2(y − 1) + 1.
= 2(x − 1)(y − 1) + 1, pentru orice x, y reale.
Răspuns
x∘y = 2(x − 1)(y − 1) + 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați valorile reale ale lui x pentru care x∘x ≤ 9.

x∘x = 2(x − 1)² + 1, deci inegalitatea devine 2(x − 1)² ≤ 8, adică (x − 1)² ≤ 4.
−2 ≤ x − 1 ≤ 2, deci x ∈ [−1, 3].
Răspuns
x ∈ [−1, 3]
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Calculați 1ⁿ∘2ⁿ∘3ⁿ∘…∘2019ⁿ, pentru orice număr natural nenul n.

1∘x = 2·0·(x − 1) + 1 = 1, pentru orice x real.
1ⁿ = 1, iar legea e asociativă, deci 1ⁿ∘2ⁿ∘…∘2019ⁿ = 1∘(2ⁿ∘3ⁿ∘…∘2019ⁿ) = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:(0,+∞)→R, f(x) = x − ln xᵉ.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = x − ex, x ∈ (0,+∞).

ln xᵉ = e·ln x, deci f(x) = x − e·ln x.
f'(x) = 1 − e·(1x) = x − ex.
Răspuns
f'(x) = x − ex
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați abscisa punctului situat pe graficul funcției f, în care tangenta la graficul funcției f este paralelă cu axa Ox.

Tangenta în punctul (a, f(a)) e paralelă cu Ox ⇔ panta ei e 0 ⇔ f'(a) = 0.
a − ea = 0 ⇔ a = e.
Răspuns
x = e
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că ecuația eˣ = xᵉ are exact o soluție în (0,+∞).

f'(x) < 0 pe (0, e), deci f e strict descrescătoare pe (0, e), și f'(x) > 0 pe (e, +∞), deci f e strict crescătoare pe (e, +∞). Minimul lui f este f(e) = e − e·ln e = 0.
Logaritmând (ambii membri pozitivi): eˣ = xᵉ ⇔ x = e·ln x ⇔ f(x) = 0.
f(x) > f(e) = 0 pentru orice x ≠ e, deci f(x) = 0 doar pentru x = e: ecuația are exact o soluție, x = e.
Răspuns
soluția unică x = e
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = (x − 1)(x + 1)eˣ.