Rezolvare BAC 2020 Matematică M2 științe ale naturii, sesiunea specială

Rezolvarea completă, pas cu pas, a subiectului oficial Matematică M_șt-nat din sesiunea specială 2020 (Proba E.c) — sesiunea specială 2020): toate cele 18 cerințe, fiecare verificată cu baremul oficial. Deschide o cerință ca să vezi pașii și răspunsul.

Subiectul I (30 de puncte)

1. (5p) Arătați că log₂7 + log₂6 − log₂21 = 1.

log₂7 + log₂6 − log₂21 = log₂(7·621) = log₂(4221).
= log₂2 = 1.
Răspuns
1
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

2. (5p) Se consideră funcțiile f:R→R, f(x) = x² și g:R→R, g(x) = 2x − 1. Demonstrați că f(x) ≥ g(x), pentru orice număr real x.

f(x) − g(x) = x² − 2x + 1 = (x − 1)².
(x − 1)² ≥ 0, pentru orice număr real x, deci f(x) ≥ g(x).
Răspuns
f(x) − g(x) = (x − 1)² ≥ 0
Recapitulează Funcții, proprietăți și grafice: teorie · grile

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația √x² + 12 = 2x.

Radicalul e nenegativ, deci trebuie 2x ≥ 0, adică x ≥ 0.
Ridicând la pătrat: x² + 12 = 4x², deci 3x² = 12 și x² = 4.
x = −2 nu convine (x ≥ 0), x = 2 convine.
Răspuns
x = 2
Recapitulează Numere reale, ecuații și inecuații: teorie · grile

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr x din mulțimea A = {−2, −1, 0, 1, 2}, acesta să fie soluție a ecuației x² − 3x + 2 = 0.

A are 5 elemente, deci 5 cazuri posibile.
x² − 3x + 2 = 0 ⇔ (x − 1)(x − 2) = 0 ⇔ x = 1 sau x = 2, ambele în A: 2 cazuri favorabile.
p = 25.
Răspuns
p = 25
Recapitulează Combinatorică și probabilități: teorie · grile

5. (5p) Determinați numerele reale a și b, pentru care u = 3v (vectori), unde u = a·i + 6j și v = 2i + b·j.

3v = 6i + 3b·j, deci u = 3v ⇔ a·i + 6j = 6i + 3b·j.
Identificând coeficienții: a = 6 și 3b = 6, deci b = 2.
Răspuns
a = 6, b = 2
Recapitulează Vectori și geometrie analitică: teorie · grile

6. (5p) Se consideră expresia E(x) = sin²x − cos²x + √2(sin x + cos x) − 2, unde x este număr real. Arătați că E(π4) = 0.

sin(π4) = cos(π4) = √22, deci sin²(π4) − cos²(π4) = 12 − 12 = 0.
√2(√22 + √22) = √2·√2 = 2.
E(π4) = 0 + 2 − 2 = 0.
Răspuns
E(π4) = 0
Recapitulează Trigonometrie și elemente de geometrie: teorie · grile

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Se consideră matricea A(x) = x+2x+3x−3x−2, unde x este număr real.

a) (5p) Arătați că det(A(x)) = 5, pentru orice număr real x.

det(A(x)) = x+2x+3x−3x−2 = (x + 2)(x − 2) − (x + 3)(x − 3).
= x² − 4 − (x² − 9) = x² − 4 − x² + 9 = 5, pentru orice număr real x.
Răspuns
det(A(x)) = 5
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numărul natural n astfel încât A(−3) + A(−2) + A(−1) + A(1) + A(2) + A(3) = nA(0).

Elementele lui A(x) sunt de forma x + c, deci A(−k) + A(k) = 46−6−4 = 2A(0), pentru orice k.
Suma este (A(−3) + A(3)) + (A(−2) + A(2)) + (A(−1) + A(1)) = 2A(0) + 2A(0) + 2A(0) = 6A(0), deci n = 6.
Răspuns
n = 6
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Determinați numărul real x pentru care A(x)·A(1) = 18−4−7.

A(1) = 34−2−1, deci A(x)·A(1) = 3(x+2)−2(x+3)4(x+2)−(x+3)3(x−3)−2(x−2)4(x−3)−(x−2) = x3x+5x−53x−10.
Din primul element, x = 1; verificare: 3·1 + 5 = 8, 1 − 5 = −4, 3·1 − 10 = −7, deci x = 1 convine.
Răspuns
x = 1
Recapitulează Matrice, determinanți și sisteme liniare: teorie · grile · probleme pe tipuri

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y = x + y + 1x² + y² + 1.

a) (5p) Arătați că 0∗1 = 1.

0∗1 = 0 + 1 + 10² + 1² + 1 = 22 = 1.
Răspuns
0∗1 = 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Determinați numerele reale x pentru care x∗x = 1.

x∗x = 2x + 12x² + 1, pentru orice număr real x.
2x + 12x² + 1 = 1 ⇔ 2x + 1 = 2x² + 1 ⇔ 2x(x − 1) = 0, deci x = 0 sau x = 1.
Răspuns
x ∈ {0, 1}
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că x∗(−x) ≤ 1, pentru orice număr real x.

x∗(−x) = x − x + 1x² + x² + 1 = 12x² + 1.
2x² + 1 ≥ 1 și e pozitiv, deci 12x² + 1 ≤ 1, adică x∗(−x) ≤ 1, pentru orice număr real x.
Răspuns
x∗(−x) = 12x² + 1 ≤ 1
Recapitulează Legi de compoziție și grupuri: teorie · grile · probleme pe tipuri

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = x√x² + 2x + 2.

Vezi graficul funcției f

a) (5p) Arătați că f'(x) = 2x² + 3x + 2√(x² + 2x + 2), x∈R.

f'(x) = √x² + 2x + 2 + x·(2x + 2)2√(x² + 2x + 2) = √x² + 2x + 2 + x(x + 1)√(x² + 2x + 2).
Aducând la același numitor: f'(x) = x² + 2x + 2 + x² + x√(x² + 2x + 2) = 2x² + 3x + 2√(x² + 2x + 2).
Răspuns
f'(x) = 2x² + 3x + 2√(x² + 2x + 2)
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

b) (5p) Calculați limx→+∞ f'(x)f(x).

f'(x)f(x) = 2x² + 3x + 2x(x² + 2x + 2) = 2x² + 3x + 2x³ + 2x² + 2x.
Gradul numitorului (3) e mai mare decât al numărătorului (2), deci limita spre +∞ este 0.
Răspuns
0
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

c) (5p) Demonstrați că, pentru orice număr real a, ecuația f(x) = a are cel puțin o soluție.

limx→−∞ x√x² + 2x + 2 = −∞ și limx→+∞ x√x² + 2x + 2 = +∞.
f este continuă pe R, deci are proprietatea lui Darboux și ia toate valorile dintre −∞ și +∞: Im f = R.
Prin urmare, pentru orice număr real a, ecuația f(x) = a are cel puțin o soluție.
Răspuns
Im f = R
Recapitulează Limite, derivate și integrale: teorie · grile · probleme pe tipuri

Se consideră funcția f:R→R, f(x) = xeˣ + x.